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初中平面幾何解題技巧集合
幾何學(xué)是人類實(shí)踐的產(chǎn)物。它的基本知識在生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，同時又是學(xué)習(xí)其他學(xué)科的基礎(chǔ)。以下是小編整理的初中平面幾何解題技巧，歡迎閱讀。
初中平面幾何解題技巧 篇1
一、輔助線與證明關(guān)系
證明是由題設(shè)（已知）出發(fā)，經(jīng)過一步一步地推理，最后推出結(jié)論（求證）正確的過程。證明前的分析，是確定運(yùn)用哪個性質(zhì)（或定理）和需要添加哪些輔助線。如"三角形的內(nèi)角和定理"的證明，應(yīng)結(jié)合命題先畫出圖形，寫出已知、求證，再證明。分析，這個定理的條件比較簡單，除了三角形的三條邊和三個內(nèi)角，并沒有其他的條件，因此這個定理的證明一定要借助輔助線。怎樣作輔助線呢？一條證明題的輔助線有時有多種作法，而作法的不同，證明的方法也不同，也就是說，一個命題可以有多種證明方法，所以輔助線的作法與證明方法有密切聯(lián)系。
二、常用幾種作輔助線的方法
由上面的講述可知，輔助線的作法有時可以有多種的作法，并沒有什么特別的規(guī)定，那么怎樣比較容易地作出需要的輔助線呢？經(jīng)過多年的教學(xué)經(jīng)驗，筆者總結(jié)出以下幾種方法與大家共同研究。
1.根據(jù)剪拼法作輔助線
剪拼法是把一個一般的多邊形剪開，使其分為幾個特殊的圖形，這種方法在多邊形證明題中用得最多，特別是學(xué)過特殊四邊形之后，通過添加輔助線的方法，把多邊形轉(zhuǎn)化為特殊四邊形和三角形，并利用特殊四邊形或三角形的知識加以解決。這樣就把復(fù)雜的問題化為簡單的問題了。
2.根據(jù)命題給出的已知條件作輔助線
給出一個命題后，審清題意，由已知條件確定要使用的性質(zhì)或定理，然后根據(jù)這個性質(zhì)或定理的特點(diǎn)去作出所需要的輔助線。
3.根據(jù)命題結(jié)論去作輔助線
若由命題的題設(shè)沒有辦法證明出結(jié)論，就從結(jié)論出發(fā)，由結(jié)論的特點(diǎn)確定運(yùn)用哪個性質(zhì)或定理，然后根據(jù)這個性質(zhì)或定理作出所需的輔助線。
4.根據(jù)圖形的特點(diǎn)去作輔助線
有的命題單純由已知條件和結(jié)論是作不出輔助線的，那么可以借助圖形的特點(diǎn)，確定添加的輔助線是怎么樣的圖形，添加的輔助線的位置是怎么樣的。
以上介紹了添加輔助線的幾種常用的方法，有時解決某一證明題時要綜合運(yùn)用這幾種方法才能攻克一道證明題。
在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線，它的畫法一定要在證明的一開始寫清楚，不能只作不寫，也不能只寫不作，兩者缺一不可，有些學(xué)生在做練習(xí)時，雖然能根據(jù)題意在圖中添加出所需要的輔助線，但不會用幾何語言把它準(zhǔn)確地表達(dá)出來，這樣就會影響到這道題的分?jǐn)?shù)，有時會導(dǎo)致整道題丟分，這就得不償失了。所以輔助線的作法一定要用精確的語言進(jìn)行描述，讓我們的做題思路更加清晰，每一個步驟都趨于完美。
輔助線的添加對于解析平面幾何題至關(guān)重要，我們要在平時的學(xué)習(xí)中開拓自己的思維，培養(yǎng)觀察理解能力，從而更好地完成難題的解答。
【初中平面幾何解題技巧：牢記一些平面幾何的著名定理】
1、勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)
2、射影定理(歐幾里得定理)
3、三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且，各中線被這個點(diǎn)分成2：1的兩部分
4、四邊形兩邊中心的連線的兩條對角線中心的連線交于一點(diǎn)
5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個三角形的重心是重合的。
6、三角形各邊的垂直一平分線交于一點(diǎn)。
7、三角形的三條高線交于一點(diǎn)
8、設(shè)三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設(shè)垂足為L，則AH=2OL
9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線(歐拉線)上。
10、(九點(diǎn)圓或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫圓)三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個點(diǎn)在同一個圓上，
11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上
12、庫立奇*大上定理：(圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓)
圓周上有四點(diǎn)，過其中任三點(diǎn)作三角形，這四個三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓。
13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s為三角形周長的'一半
14、(旁心)三角形的一個內(nèi)角平分線和另外兩個頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)
15、中線定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接AB中點(diǎn)M和對角線交點(diǎn)E的直線垂直于CD
18、阿波羅尼斯定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點(diǎn)P，位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上
19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有ABCD+ADBC=ACBD
20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，
21、愛爾可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的中心構(gòu)成的三角形也是正三角形。
22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。
23、梅涅勞斯定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有BPPCCQQAARRB=1
24、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)
25、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的A的外角平分線交邊CA于Q、C的平分線交邊AB于R，、B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線。
26、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過任意△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線
27、塞瓦定理：設(shè)△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點(diǎn)S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交于點(diǎn)P、Q、R，則BPPCCQQAARRB()=1.
28、塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中心M
29、塞瓦定理的逆定理：(略)
30、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點(diǎn)
31、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)。
32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線)
33、西摩松定理的逆定理：(略)
34、史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過線段PH的中心。
35、史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條(與西摩松線平行的)直線上。這條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線。
36、波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2).
37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)
38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)。
39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)
40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個圓上，這時L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)。
41、關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。
42、關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)。
43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。
44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點(diǎn)引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線
45、清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線
46、他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別為ED、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。(反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點(diǎn)，如果OC2=OQOP則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn))
47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。
48、九點(diǎn)圓定理：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個歐拉點(diǎn)[連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)]九點(diǎn)共圓[通常稱這個圓為九點(diǎn)圓[nine-pointcircle],或歐拉圓,費(fèi)爾巴哈圓.
49、一個圓周上有n個點(diǎn)，從其中任意n-1個點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)。
50、康托爾定理1：一個圓周上有n個點(diǎn)，從其中任意n-2個點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)。
51、康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松的交點(diǎn)在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。
52、康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點(diǎn)。這個點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)。
53、康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點(diǎn)在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。
54、費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。
55、莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點(diǎn)，則這樣的三個交點(diǎn)可以構(gòu)成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。
56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對角線的中點(diǎn)，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。
57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。
58、笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn)，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點(diǎn)共線。
59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn)，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點(diǎn)共線。
60、布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線共點(diǎn)。
60、巴斯加定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長線的)交點(diǎn)共線。
初中平面幾何解題技巧 篇2
證明兩線段相等
1.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。
2.同一三角形中等角對等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷�被交點(diǎn)分成的兩段相等。
5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。
7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。
8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
9.同圓(或等圓)中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項(或兩后項)相等的比例式中的兩后項(或兩前項)相等。
12.兩圓的內(nèi)(外)公切線的長相等。
13.等于同一線段的兩條線段相等。
證明兩個角相等
1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。
2.同一三角形中等邊對等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線(或高)平分頂角。
4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。
5.同角(或等角)的余角(或補(bǔ)角)相等。
6.同圓(或圓)中，等弦(或弧)所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。
7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。
8.相似三角形的對應(yīng)角相等。
9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。10.等于同一角的兩個角相等
證明兩直線平行
1.垂直于同一直線的各直線平行。
2.同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。
3.平行四邊形的對邊平行。
4.三角形的中位線平行于第三邊。
5.梯形的中位線平行于兩底。
6.平行于同一直線的兩直線平行。
7.一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。
證明兩條直線互相垂直
1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的'中線垂直于底邊。
2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。
3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。
4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。
5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。
6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。
7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的對角線互相垂直。
10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直于弦。
11.利用半圓上的圓周角是直角。
證明線段的和差倍分
1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。
2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。
3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。
4.取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。
5.利用一些定理(三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等)。
證明角的和差倍分
1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分線的定義。
3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。
證明線段不等
1.同一三角形中，大角對大邊。
2.垂線段最短。
3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。
5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
證明兩角的不等
1.同一三角形中，大邊對大角。
2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。
3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。
4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
證明比例式或等積式
1.利用相似三角形對應(yīng)線段成比例。
2.利用內(nèi)外角平分線定理。
3.平行線截線段成比例。
4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。
5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。
6.利用比利式或等積式化得。
證明四點(diǎn)共圓
1.對角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。
2.外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓。
3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓(頂角在底邊的同側(cè))。
4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。
5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓。
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