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高中數(shù)學(xué)易混淆知識(shí)點(diǎn)
易混概念辨析 切線和切線的長(zhǎng)
“切線”和“切線的長(zhǎng)”
請(qǐng)研究下面的問(wèn)題：
已知：⊙O的半徑為3cm，點(diǎn)P和圓心O的距離為6cm，經(jīng)過(guò)P作⊙O的切線并求切線的長(zhǎng)。
在這個(gè)問(wèn)題中出現(xiàn)了“切線”和“切線的長(zhǎng)”這兩個(gè)名詞，它們有什么區(qū)別?
和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線叫做圓的切線。如上面問(wèn)題中過(guò)P點(diǎn)所作⊙O的切線PT，它和⊙O只有一個(gè)公共點(diǎn)T.
在切線上，某一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線的長(zhǎng)。如上面問(wèn)題中，P是切線PT上的一點(diǎn)，T是切點(diǎn)，線段PT的長(zhǎng)就叫做P點(diǎn)到⊙O的切線的長(zhǎng)。
由此可見(jiàn)，“切線”和“切線的長(zhǎng)”這兩個(gè)概念是有聯(lián)系的。沒(méi)有切線，就談不上切線的長(zhǎng)。但是，它們又是有區(qū)別的。切線是直線，不可以度量，談不上具體的長(zhǎng)度；切線的長(zhǎng)則是切線上一條線段的長(zhǎng)，即圓外一已知點(diǎn)到切點(diǎn)之間的距離，是可以度量的。切線是一條直線，它是一個(gè)圖形；切線的長(zhǎng)是一個(gè)數(shù)量。不能把圖形和數(shù)量混為一談。
了解了“切線”和“切線的長(zhǎng)”的區(qū)別，我們回過(guò)頭來(lái)分析上面的問(wèn)題，所謂“過(guò)P點(diǎn)作圓O的切線”，是一個(gè)作圖題，要求作出過(guò)P點(diǎn)和圓O相切的直線。而“求切線的長(zhǎng)’則是一個(gè)計(jì)算題，要求算出線段PT的長(zhǎng)度，兩者的區(qū)別是很明顯的，至于它們具體的作法和解法，就留給同學(xué)們自己去完成了。
易混概念辨析 共點(diǎn)線和共線點(diǎn)
“共點(diǎn)線”和“共線點(diǎn)”
步槍射擊時(shí)，戰(zhàn)士要把自己的眼睛通過(guò)槍管前面的“準(zhǔn)心”，瞄準(zhǔn)敵方的目標(biāo)。也就是說(shuō)，從幾何上看，就是要使眼睛、準(zhǔn)心、目標(biāo)三點(diǎn)共線，這樣才能擊中目標(biāo)。
像這樣位于同一條直線上的若干個(gè)點(diǎn)，叫做共線點(diǎn)。下面我們來(lái)證明一個(gè)“三點(diǎn)共線的問(wèn)題”。
例：自三角形外接圓上任一點(diǎn)，分別作三角形三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，試證三垂足共線。
已知：圖中，⊙O是△ABC的外接圓，P是⊙O上的一點(diǎn)，PD、PE、PF分別垂直于直線AB、BC、AC，D、E、F是垂足。求證：D、E、F三點(diǎn)共線。
證明：連結(jié)BP、PC、DE、EF
∵∠BDP=∠PEB=90°，
∴B、D、E、P四點(diǎn)共圓。
∴∠BED=∠BPD ①
又∵∠PFC=∠PEC=90°，
∴C、E、P、F四點(diǎn)共圓，
∴∠CPF=∠CEF ②
又∵A、B、P、C四點(diǎn)共圓，
∴∠PCF=∠ABP ③
在Rt△BPD及Rt△CPF中，
由②，得∠CPF=∠CEF=∠BED
即∠CEF與∠DEB為對(duì)頂角。
∵BEC是一條直線，
∴DEF也是一條直線，即D、E、F三點(diǎn)共線。
在解析幾何里，要證明A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)三點(diǎn)共線，常用下面的方法：
(1)用斜率公式，驗(yàn)證直線AB的斜率等于直線BC的斜率；
(2)用兩點(diǎn)距離公式，驗(yàn)證線段AB、BC、CA中某兩條線段的和，等于第三條線段的長(zhǎng)；
(3)寫(xiě)出直線AB的方程，證明C點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程，即C點(diǎn)在直線AB上。
在數(shù)學(xué)里，證明共點(diǎn)線的方法很多。若是用解析幾何的方法，證明三條直線l1、l2、l3共點(diǎn)，可用下面這些方法：
(1)驗(yàn)證直線l1和l2的交點(diǎn)，也在直線l3上。
(2)證明直線l1、l2的交點(diǎn)與直線l2、l3的交點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)。
共線點(diǎn)和共點(diǎn)線都是說(shuō)直線和點(diǎn)的位置關(guān)系，前者是說(shuō)若干個(gè)點(diǎn)都在一條直線上，后者是說(shuō)若干條直線都通過(guò)某一個(gè)點(diǎn)，兩者字形相仿，但意思不同。
與共線點(diǎn)、共點(diǎn)線類似的，還有共圓點(diǎn)、共點(diǎn)圓這兩個(gè)不同的概念。同在一個(gè)圓上的點(diǎn)叫共圓點(diǎn)。比如對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。若干個(gè)圓相交于同一個(gè)點(diǎn)，叫做共點(diǎn)圓。共點(diǎn)圓在探測(cè)地震震中時(shí)要用到。根據(jù)數(shù)據(jù)查出震中離地震臺(tái)的距離，即震中在以地震臺(tái)為圓心，該距離為半徑的圓上。從三個(gè)不同地震臺(tái)探測(cè)所得到三個(gè)圓的交點(diǎn)，就是所求的震中，這實(shí)際上就是幾何中常用的軌跡交截法。
易混概念辨析 等弧和等長(zhǎng)的弧
“等弧”和“等長(zhǎng)的弧”
什么叫“等弧”?能夠互相重合的弧叫做等弧。
兩條弧既然能夠重合，那么它們所在圓的半徑必然是相等的。也就是說(shuō)，這兩條弧所在的圓就一定是同圓，或者是等圓。如果兩弧半徑不等，它們是不能重合的。
等長(zhǎng)的弧說(shuō)的是不同的弧，它們的長(zhǎng)度相等。我們分三種情況來(lái)討論。
(1)在圖1中，是同圓o中的兩條等弧，它們能夠重合，所以長(zhǎng)度相等，即它們是等長(zhǎng)的弧。
(2)在圖2中，是等圓⊙O1和⊙O2中的兩條等弧，它們能夠重合，所以長(zhǎng)度相等，即它們是等長(zhǎng)的弧。
(3)在圖3中，設(shè)⊙O1的半徑為1，圓心角∠AO1B=60°，則
⊙O2的半徑為2，圓心角∠CO2D=30°，則
所這說(shuō)明是等長(zhǎng)的弧，但因?yàn)樗鼈兊陌霃讲坏龋荒苤睾�，所以它們不是等弧�?/p>
由此可見(jiàn)，“等長(zhǎng)的弧”可以是同圓中不同的弧，可以是等圓中不同的弧，還可以是不同圓中不同的弧。“等弧”只能是同圓或等圓中的弧。“等弧”一定是“等長(zhǎng)的弧”，但“等長(zhǎng)的弧”就未必是“等弧”。
易混概念辨析 同圓、等圓和同心圓
“同圓”、“等圓”和“同心圓”
請(qǐng)研究下面的問(wèn)題：
“在同一圓中，已知弦AB=12cm，弦CD=8cm，這兩條弦的弦心距哪一個(gè)長(zhǎng)?”
根據(jù)定理“在同圓中，有兩條不相等的弦，大弦的弦心距較小”可知，弦CD的弦心距比弦AB的弦心距要大。注意，這個(gè)題目的前提是“同圓”，如果不是同一個(gè)圓，那么結(jié)論就未必成立。例如，圖2中⊙O2的半徑大于⊙O1的半徑，它們既不是同圓，又不是等圓。⊙O2的弦AB大于⊙O1的弦CD，但是弦AB的弦心距卻大于弦CD的弦心距。
再請(qǐng)研究下面的問(wèn)題：
“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等�！边@實(shí)際上是兩個(gè)問(wèn)題：
(1)在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等（圖3）。
(2)在等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等（圖4）。
前一個(gè)問(wèn)題，定理指的是在同一個(gè)圓O中（圖3），若∠AOB=∠COD，則
后一個(gè)問(wèn)題，指的是在不同的兩個(gè)圓（⊙O1、⊙O2）中，如果它們是等圓（即兩圓半徑相等），且∠AO1B=∠CO2D ，則
這個(gè)定理用疊合法不難得證。
由此可見(jiàn)，“同圓”指的是同一個(gè)圓，“等圓”則指的是半徑相等的不同的圓，兩者是不同的。但在研究時(shí)，兩者常同時(shí)出現(xiàn)，即在“同圓或等圓中”研究某個(gè)性質(zhì)。
最后，請(qǐng)研究下面的問(wèn)題：
“求證：同心圓中，與小圓相切的大圓的弦相等�！�
這里，“同心圓”指的是半徑不等但圓心相同的圓。在圖5中，AB、CD是大圓的兩條弦，它們分別與小圓相切于E、F點(diǎn)。由于OE、OF是小圓的半徑，
∴OE=OF
∴AB=CD（在大圓中，弦心距相等，則弦相等）。
所以，“同圓”指的是同一個(gè)圓，“等圓”指的是不同的圓，它們的位置不同，但半徑相等；“同心圓”指的是不同的圓，它們的半徑不等，但圓心相同。
易混概念辨析 圓和圓面
“圓”和“圓面”
在我們的生活中，圓是一種最常見(jiàn)的圖形。碗、盤(pán)、碟，月餅，車(chē)輪，水的波紋等等，都給我們以圓的形象。圓又被用來(lái)作為幸福、美好的象征。如人們常說(shuō)“花好月圓”，“圓滿”，“團(tuán)圓”，就是這個(gè)意思。
什么是圓?在初中平面幾何中，對(duì)圓是這樣定義的：線段（AB）繞著一個(gè)端點(diǎn)（A）旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)（B）畫(huà)出的圖形叫做圓。
點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成線。從圓的定義可以知道，圓是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（B）和一個(gè)定點(diǎn)（A）距離等于定長(zhǎng)（AB的長(zhǎng)）的點(diǎn)的軌跡，它是一條線。我們還可以把圓說(shuō)成是“到一個(gè)定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)點(diǎn)的集合”。
在高中解析幾何中，我們?cè)俅螌W(xué)習(xí)了圓。設(shè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r，圓上動(dòng)點(diǎn)為P(x，y)，則根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得圓的方程：
即 x2+y2=r2
若圓心不在原點(diǎn)，而它的坐標(biāo)為(a，b)，圓的半徑為r，動(dòng)點(diǎn)為P(x，y)，則此圓的方程為
即 (x-a)2+(y-b)2=r2
這就是圓的一般方程。
我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期有一位科學(xué)家叫墨翟（約前468-前376），后人根據(jù)他的思想和言論寫(xiě)成一部叫《墨經(jīng)》的書(shū)。在這部書(shū)里，提出19條有關(guān)幾何的內(nèi)容，其中有一條就是圓的定義。當(dāng)時(shí)是這樣定義的：“圜，一中同長(zhǎng)也�！边@里的“圜”讀作“huán”，就是我們今天所講的圓或球面�！爸小本褪恰岸c(diǎn)”�！耙恢型L(zhǎng)”，用我們今天的話來(lái)說(shuō)，就是“到一個(gè)點(diǎn)距離相同的點(diǎn)的集合”。可見(jiàn)，2400年前，我們的老祖宗給圓的定義和今天教材里所講的定義是完全一樣的。
在實(shí)際生活中，“圓”指的是部分平面。如滿月，指的不僅是月亮周?chē)那�，而且包括曲線內(nèi)部的曲線。月餅，也不僅表示月餅的周界，還包括周界所圍成的部分平面。為了與圓區(qū)別起見(jiàn)，我們把由圓圍成的部分平面稱為圓面。所以，圓面可以理解為：
(1)線段AB繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，所得的部分平面；
(2)到定點(diǎn)（A）距離等于或小于定長(zhǎng)點(diǎn)的集合。
在解析幾何里，可以用下列方程或不等式表示圓面：
x2+y2≤r2（圓心在原點(diǎn)）(x-a)2+(y-b)2≤r2（圓心在(a，b)）
與“圓”和“圓面”這對(duì)概念類似，在立體幾何中還有“球面”和“球”這對(duì)概念。不過(guò)要注意的是，這里的“球面”相當(dāng)于“圓”，它是空間到定點(diǎn)距離為定長(zhǎng)點(diǎn)的集合。球面是一個(gè)曲面，它的內(nèi)部是空的，例如籃球就給我們以球面的形象。在空間解析幾何中，球面的一般方程為
x2+y2+z2=r2（球心在原點(diǎn)）(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2（球心在(a，b，c)點(diǎn)）
這里“球”相當(dāng)于“圓面”，它是空間到定點(diǎn)距離等于或小于定長(zhǎng)點(diǎn)的集合。球是一個(gè)實(shí)體，例如鉛球、地球就給我們以球的形象。在空間解析幾何中，球的方程和不等式為：
x2+y2+z2≤r2（球心在原點(diǎn)）(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2≤r2（球心在(a，b，c)點(diǎn)）
易混概念辨析 五心和中心
“五心”和“中心”
平面幾何的作圖，歸根到底是畫(huà)直線和弧。先求出某些特殊的交點(diǎn)，然后畫(huà)出所求的圖形。所以，找“特殊點(diǎn)”在幾何作圖里是非常重要的。
在三角形中，有五個(gè)“特殊點(diǎn)”，它們是：
(1)三角形三邊中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的重心。圖1中，AM1、BM2、CM3是△ABC的三條中線，M是它們的交點(diǎn)，M就是三角形的重心。設(shè)△ABC是一塊均勻的薄板，如果我們將三角板水平放置，用一根針尖支撐在重心的地方，三角板能處于水平狀態(tài)而不倒下。
(2)三角形三邊的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂心。圖2中，AH1、BH2、CH3是△ABC的三條高，H是它們的交點(diǎn)，H就叫做三角形的垂心。
(3)三角形三個(gè)角的平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。圖3中，AT1、BT2、CT3是△ABC的三條角平分線，T是它們的交點(diǎn)，T就是三角形的內(nèi)心。T點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，所以，以T為圓心，T到任何一邊的距離為半徑所畫(huà)的圓，與△ABC三邊相切。這個(gè)圓就叫做三角形的內(nèi)切圓，“內(nèi)心”由此得名。
(4)三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的外心。圖4中，OM1、OM2、OM3分別是△ABC三邊AB、BC、AC的垂直平分線，它們相交于點(diǎn)O，O就是△ABC的外心。以O(shè)為圓心，OA為半徑畫(huà)圓，這就是△ABC的外接圓，“外心”由此得名。
(5)三角形一個(gè)角的平分線與其他兩個(gè)外角的平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的旁心。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心。在圖5中，BS2是∠B的平分線，AS1、CS3是△ABC兩個(gè)外角的平分線，BS2、AS1、CS3交于S點(diǎn)，S點(diǎn)叫做三角形的一個(gè)旁心�！芭孕摹钡囊馑际侨切闻郧袌A的圓心，以S為圓心，S到∠B兩邊的距離為半徑所畫(huà)的圓叫做△ABC的旁切圓。
三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心合稱為三角形的五心。
正多邊形與圓有密切的關(guān)系，因?yàn)楫?huà)正多邊形的實(shí)質(zhì)就是等分圓周的問(wèn)題。我們把過(guò)正多邊形各頂點(diǎn)的圓叫做正多邊形的外接圓。如圖6中，⊙O就是正多邊形ABCDEFGH的外接圓。與正多邊形各邊相切的圓叫做正多邊形的內(nèi)切圓。圖6中，⊙O是正多邊形A′B′C′D′E′F′G′H′的內(nèi)切圓。正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的圓心叫做正多邊形的中心。
五心，是三角形的五心；中心，在直線形中，只有正多邊形才有中心。不要把三角形的五心和正多邊形的中心混淆起來(lái)。
還要補(bǔ)充一下，“中心”這個(gè)概念在“相似中心”、“對(duì)稱中心”里也用到，不過(guò)這里與正多邊形中心的意義又不同了。
有趣的是，正三角形的重心、垂心、內(nèi)心和外心和中心是同一個(gè)點(diǎn)。
請(qǐng)同學(xué)們回答：
(1)要從三角形鐵片上剪下一個(gè)盡可能大的圓鐵片來(lái)，應(yīng)該怎么剪法?
(2)要把三角形的鐵片平放入一個(gè)圓柱形桶中，這個(gè)鐵桶底面直徑至少要多大?如果這個(gè)鐵桶正中有一根軸，應(yīng)該在三角形鐵片的什么地方鉆一個(gè)孔，才能恰好套在軸上?
(3)要把一塊三角形鐵片剪成面積相等的三個(gè)三角形鐵片，應(yīng)該怎樣剪法?
(4)三個(gè)村莊決定共修建一個(gè)小型發(fā)電廠，電廠建在什么地方，所用的輸電線最短?
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