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初中數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)歸納
一、軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形：
1.軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段叫做對(duì)稱線段。
2.軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸。
注意：對(duì)稱軸是直線而不是線段
3.軸對(duì)稱的性質(zhì)：
�。�1）關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；
�。�2）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；
（3）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上；
（4）如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。
4.線段垂直平分線：
�。�1）定義：垂直平分一條線段的直線是這條線的垂直平分線。
�。�2）性質(zhì)：①線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；
�、诘揭粭l線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。
注意：根據(jù)線段垂直平分線的這一特性可以推出：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
5.角的平分線：
�。�1）定義：把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線叫做角的平分線.
（2）性質(zhì)：①在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.
�、诘揭粋�(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.
注意：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.
6.等腰三角形的性質(zhì)與判定：
性質(zhì)：
�。�1）對(duì)稱性：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對(duì)稱軸，或底邊上的高所在的直線是它的對(duì)稱軸，或頂角的平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸；
�。�2）三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；
�。�3）等邊對(duì)等角：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。
說明：等腰三角形的性質(zhì)除“三線合一”外，三角形中的主要線段之間也存在著特殊的性質(zhì)，如：①等腰三角形兩底角的平分線相等；②等腰三角形兩腰上的中線相等；
�、鄣妊切蝺裳系母呦嗟�；④等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等。
判定定理：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）。
7.等邊三角形的性質(zhì)與判定：
性質(zhì)：（1）等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；
�。�2）等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)，并且在每條邊上都有“三線合一”。因此等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，而等腰三角形（非等邊三角形）只有一條對(duì)稱軸。
判定定理：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
說明：等邊三角形是一種特殊的三角形，容易知道等邊三角形的三條高（或三條中線、三條角平分線）都相等。
二、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形：
1.中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠和另外一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。
2.中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心。
3.中心對(duì)稱的性質(zhì)：（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；
�。�2）在成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中,連接對(duì)稱點(diǎn)的線段都經(jīng)過對(duì)稱中心,并且被對(duì)稱中心平分；
�。�3）成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。
三、軸對(duì)稱與中心對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系：
軸對(duì)稱中心對(duì)稱
有一條對(duì)稱軸——直線有一個(gè)對(duì)稱中心——點(diǎn)
圖形沿對(duì)稱軸對(duì)折(翻折180o)后重合圖形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180o后重合
對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分對(duì)稱點(diǎn)連線經(jīng)過對(duì)稱中心,且被對(duì)稱中心平分
四、幾種常見的軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形：
軸對(duì)稱圖形：線段、角、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓
對(duì)稱軸的條數(shù)：角有一條對(duì)稱軸，即該角的角平分線；等腰三角形有一條對(duì)稱軸，是底邊的垂直平分線；等邊三角形有三條對(duì)稱軸，分別是三邊上的垂直平分線；菱形有兩條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在的直線，矩形有兩條對(duì)稱軸分別是兩組對(duì)邊中點(diǎn)的直線；
中心對(duì)稱圖形：線段、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓
對(duì)稱中心：線段的對(duì)稱中心是線段的中點(diǎn)；平行四邊形、菱形、矩形、正方形的對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，圓的對(duì)稱中心是圓心。
說明：線段、菱形、矩形、正方形以及圓它們即是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形。
五、坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱變換與中心對(duì)稱變換：
點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x,-y)，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-x,y)。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)P3的坐標(biāo)是(-x,-y)這個(gè)規(guī)律也可以記為：關(guān)于y軸（x軸）對(duì)稱的點(diǎn)的縱坐標(biāo)（橫坐標(biāo)）相同，橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)）互為相反數(shù)。關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的，橫坐標(biāo)為原橫坐標(biāo)的相反數(shù)，縱坐標(biāo)為原縱坐標(biāo)的相反數(shù)，即橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)同乘以-1。
常見考法
�。�1）判別某些圖形是不是軸對(duì)稱圖形能找出對(duì)稱軸，對(duì)稱軸的條數(shù)、判別某些圖形是中心對(duì)稱圖形能找到對(duì)稱中心；（2）利用垂直平分線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)證明一些結(jié)論；（3）利用等腰三角形三線合一性質(zhì)證明線段相等、線段垂直；（4）直接證明某一個(gè)三角形是等腰三角形；（4）軸對(duì)稱圖形的實(shí)際應(yīng)用（如鏡子中的軸對(duì)稱問題、解決一些折疊問題、還有求幾個(gè)線段之和最短問題）。
誤區(qū)提醒
（1）把軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的概念、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的概念混淆；（2）把軸對(duì)稱與全等混淆；（3）找軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不全、不準(zhǔn)；（4）在解有關(guān)等腰三角形問題時(shí)，沒有進(jìn)行分類討論，造成漏解。
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