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《二項式定理》說課稿

時間:2024-09-28 00:21:48 說課稿 我要投稿
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《二項式定理》說課稿

  作為一名老師,就難以避免地要準備說課稿,編寫說課稿助于積累教學經驗,不斷提高教學質量。那么說課稿應該怎么寫才合適呢?以下是小編收集整理的《二項式定理》說課稿,歡迎大家分享。

《二項式定理》說課稿

《二項式定理》說課稿1

  一、教材分析

  1、地位和作用:

  二項式定理是選修2-3的1.3節(jié)的第一課時,本節(jié)課是在學習了排列組合的基礎上學習的,并為后面學習概率中的二項分布奠定了基礎,所以它是承上啟下的一節(jié)課。二項式定理不僅能解決某些整除性、近似計算問題的一種方法,并且還能解釋集合的子集個數問題;再者,二項式定理不僅僅是初中多項式乘法的拓展,它又是數學分析中函數級數展開式的一個特例,在組合理論、開高次方、高階等差數列求和,以及差分法中有廣泛的應用,因此這節(jié)課在高中數學中有著十分重要的作用。

  2.重點難點

  根據本節(jié)教材特點及學生的認知結構確定本節(jié)課的教學重點為:二項定理的推導及通項公式的運用

  由于二項式定理的導出對學生來講有一定的難度所以確定本節(jié)課的難點為:二項式定理的推導

  二、目標分析

  1、結合重點中學學生的實際情況,確定本節(jié)課的`教學目標如下:

 。1)掌握二項式定理及二項展開式的通項公式,并能熟練地進行二項式的展開及求解某些指定的項。

 。2)通過探索二項式定理,培養(yǎng)學生觀察問題發(fā)現問題,歸納推理問題的能力。

 。3)激發(fā)學生學習興趣、培養(yǎng)學生不斷發(fā)現,探索新知的精神,滲透事物相互轉化和理論聯系實際的辯證唯物主義觀點,并通過數學的對稱美,培養(yǎng)學生的審美意識。

  2、教法、學法:

 。1)貫穿好“過程性”原則,要重視學生的參與過程,又要重視知識的重現過程。在教學過程中,充分揭示每一個階段的思維活動過程,通過思維活動過程的暴露和創(chuàng)新活動過程的演變,使教學活動成為思維活動的教學,由此來啟發(fā)、引導學生直接或間接地感受和體驗知識的產生、發(fā)展和演變過程。

 。2)變傳統(tǒng)的“接受性、訓練性學習”為新穎的“探究式、發(fā)現式的學習”,變教師是傳授者為組織者、合作者、指導者。

  三、教學過程分析:

 。ㄒ唬﹦(chuàng)設情境,激發(fā)興趣

  提出問題:“今天是星期六,我能很快知道再過810天的那一天是星期幾,你能想出來嗎?”

  設計意圖:根據教學內容特點和學生的認識規(guī)律,給學生提出一些能引起思考和爭論性的題目,即一些內容豐富、背景值得進一步探究的詼諧有趣的題目、給學生創(chuàng)造一個“憤”和“悱”的情境,利用問題設下認知障礙,激發(fā)學生的求知欲望。

  (二)問題初探

  1、從具體問題入手,啟發(fā)學生將這個問題轉化成一個數學問題:“求810被7除的余數是多少?”因為8=7+1,82=(7+1)2=72+2*7+1,83=(7+1)3=73+3*72+3*7+1,那810=(7+1)10又如何展開呢?

  這就要用到我們今天將要學習的二項式定理。(板書題目“二項式定理”)

  2、先讓學生自己動手運用多項式乘多項式的法則寫出(a+b)2、(a+b)3、(a+b)4的展開式,然后提出用這種方法寫出(a+b)10的展開式容易嗎?(a+b)100、(a+b)n呢?

  設計意圖:復習舊知識,提問設疑,逐步推進,引起學生對學習的注意,為學生學習新課內容作知識上、方法上、心理上的準備。

 。ㄈ├硇蕴骄

  1.引導學生對寫出的(a+b)2、(a+b)3、(a+b)4的展開式進行下列四個方面的探究:

 、夙棓;

 、诟黜棿螖;

 、圩帜竌、b指數的變化規(guī)律;

 、芨黜椣禂

  在此過程中教師提出問題學生思考學生小組討論,自由發(fā)表見解。

  2.學生雖然注意到各展開式的結構特征,也很快能得出:①項數;②各項次數;③字母a、b指數的變化規(guī)律,但還缺乏豐富的聯想意識,并且對各項系數的探究出現困難。于是進一步啟發(fā)學生從多項式乘以多項式的過程中去發(fā)現思路,即研究a4、a3b……這些項的形成過程中去尋找解決問題的方法,學生才領悟到a4是從(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)四個括號中,每個括號都取a然后相乘而得到,即每個括號都不取b,最后學生根據剛學過的組合數的算法得到共有種情況,因此a4的系數是。利用同樣的即前面學過的分步計數原理辦法學生探究得到含a3b、a2b2、ab3、b4這些項的系數,所以學生不難得到(a+b)4的展開式。

  設計意圖:學生通過對三個展開式的自主探討,親歷了知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程,從而發(fā)現問題,提出問題,并在老師的引導下解決問題,達到了“創(chuàng)造性地使用教材,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識”教學目的

  3.歸納、猜想

  學生通過對(a+b)2、(a+b)3、(a+b)4三個展開式探究,由學生歸納得出(a+b)n展開式有如下特性:

 。1)共有n+1項;

 。2)各項的次數都等于二項式的次數n;

 。3)字母a的指數由n遞減到0;同時字母b的指數由0遞增到n;

 。4)各項的系數依次為,并利用組合知識給出解釋,得出二項式定理。

  設計意圖:學生在探究過程中通過觀察、發(fā)現,類比從而是進行必要的歸納和合理的猜想得出結論,這是數學教學提創(chuàng)培養(yǎng)的,是一種創(chuàng)造性的思維活動,是掌握探求新知識的一種手段,也是進一步提高學生的歸納、推理、猜想能力的一種途徑。

《二項式定理》說課稿2

  一、教材分析:

  1、知識內容:二項式定理及簡單應用

  2、地位及重要性

  二項式定理是安排在高中數學排列組合內容后的一部分內容,其形成過程是組合知識的應用,同時也是自成體系的知識塊,為隨后學習的概率知識及高三選修概率與統(tǒng)計,作知識上的鋪墊。二項展開式與多項式乘法有密切的聯系,本節(jié)知識的學習,必然從更廣的視角和更高的層次來審視初中學習的關于多項式變形的知識。運用二項式定理可以解決一些比較典型的數學問題,例如近似計算、整除問題、不等式的證明等。

  3、教學目標

  A、知識目標:

  (1)使學生參與并探討二項式定理的形成過程,掌握二項式系數、字母的冪次、展開式項數的規(guī)律

 。2)能夠應用二項式定理對所給出的二項式進行正確的展開

  B、能力目標:

 。1)在學生對二項式定理形成過程的參與、探討過程中,培養(yǎng)學生觀察、猜想、歸納的能力及分類討論解決問題的能力

 。2)培養(yǎng)學生的化歸意識和知識遷移的能力

  C、情感目標:

  (1)通過學生自主參與和二項式定理的形成過程培養(yǎng)學生解決數學問題的信心;

 。2)通過學生自主參與和二項式定理的形成過程培養(yǎng)學生體會到數學內在和諧對稱美;

  (3)培養(yǎng)學生的民族自豪感,在學習知識的過程中進行愛國主義教育。

  4、重點難點:

  重點:

 。1)使學生參與并深刻體會二項式定理的形成過程,掌握二項式系數、字母的冪次、展開式項數的規(guī)律;

  (2)能夠利用二項式定理對給出的二項式進行正確的展開。

  難點:二項式定理的發(fā)現。

  二、教法學法分析

  為了達到這節(jié)課的`目標:掌握并能運用二項式定理,讓學生主動探索展開式的由來是關鍵!皩W習任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現”正所謂“學問之道,問而得,不如求而得之深固也”本節(jié)課的教法貫穿啟發(fā)式教學原則,以啟發(fā)學生主動學習,積極探索為主。創(chuàng)設一個以學生為主體,師生互動、共同探索的教與學的情境。通過復習引入,引申設疑,實驗猜想,歸納推廣等環(huán)節(jié)進行對此定理的探索。不僅重視知識的結果,而且重視知識的發(fā)生、發(fā)現和解決的過程,貫切新課程理念。

  另外,根據“近發(fā)展區(qū)的理論”精心設置問題,調控問題的解決過程培育這節(jié)課最佳的知識生長點。

  三、教學過程

  1、情景設置

  問題1:若今天是星期二,再過30天后的那一天是星期幾?怎么算?

  預期回答:星期四,將問題轉化為求“30被7除后算余數”是多少?

  問題2:若今天是星期二,再過810天后的那一天是星期幾?

  問題3:若今天是星期二,再過天后是星期幾?怎么算?

  預期回答:將問題轉化為求“被7除后算余數”是多少?

  在初中,我們已經學過了

  (a+b)2=a2+2ab+b2

  (a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3

  (提問):對于(a+b)4,(a+b)5 如何展開?(利用多項式乘法)

  (再提問):(a+b)100又怎么辦? (a+b)n (n?N+)呢?

  我們知道,事物之間或多或少存在著規(guī)律。也就是研究(a+b)n(n?N+)的展開式是什么?這就是本節(jié)課要學的內容。這節(jié)課,我們就來研究(a+b)n的二項展開式的規(guī)律性。學完本課后,此題就不難求解了。

 。ㄔO計意圖:使學生明確學習目的,用懸念來激發(fā)他們的學習動機。奧蘇貝爾認為動機是學習的先決條件,而認知驅力,即學生渴望認知、理解和掌握知識,并能正確陳述問題、順利解決問題的傾向是學生學習的重要動力。)

  2、新授

  第一步:讓學生展開

  問題1:以的展開式為例,說出各項字母排列的規(guī)律;項數與乘方指數的關系;展開式第二項的系數與乘方指數的關系。

  預期回答:①展開式每一項的次數按某一字母降冪、另一字母升冪排列,且兩個字母冪指數的和等于乘方指數;②展開式的項數比乘方指數多1;③展開式中第二項的系數等于乘方指數。

  第二步:繼續(xù)設疑

  如何展開以及呢?

 。ㄔO計意圖:讓學生感到僅掌握楊輝三角形是不夠的,激發(fā)學生繼續(xù)學習新的更簡捷的方法的欲望。)

  繼續(xù)新授

  師:為了尋找規(guī)律,我們以中為例

  問題1:以項為例,有幾種情況相乘均可得到項?這里的字母各來自哪個括號?

  問題2:既然以上的字母分別來自4個不同的括號,項的系數你能用組合數來表示嗎?

  問題3:你能將問題2所述的意思改編成一個排列組合的命題嗎?

 。A期答案: 有4個括號,每個括號中有兩個字母,一個是、一個是。每個括號只能取一個字母,任取兩個、兩個,然后相乘,問不同的取法有幾種?)

  問題4:請用類比的方法,求出二項展開式中的其它各項系數(用組合數的形式進行填寫),

  呈現二項式定理

  3、深化認識

  請學生總結:

 、俣検蕉ɡ碚归_式的系數、指數、項數的特點是什么?

  ②二項式定理展開式的結構特征是什么?哪一項最具有代表性?

  由此,學生得出二項式定理、二項展開式、二項式系數、項的系數、二項展開式的通項等概念,這是本課的重點。

 。ㄔO計意圖:教師用邊講邊問的形式,通過讓學生自己總結、發(fā)現規(guī)律,挖掘學習材料潛在的意義,從而使學習成為有意義的學習。)

  4、鞏固應用

  例1-3是課本原題,由于是第一節(jié)課所以題目類型較基礎

  最后解決起始問題:今天是星期二,再過8n天后的那一天是星期幾?

  解: 8n =(7+1)n=C n0 7n+Cn1 7n-1+C n2 7n-2+…+C nn -1 7+C nn

  因為C nn 前面各項都是7的倍數,故都能被7整除.

  因此余數為C nn =1

  所以應為星期三

  四、回顧小結:

  通過學生主動探索的學習過程,使學生清晰的掌握二項式定理的內容,更體會到了二項式定理形成的思考方式,為后繼課程(n次獨立重復實驗恰好發(fā)生次)的學習打下了基礎。

  而二項式定理內容本身對解釋二項分布有很直接的功效,因為二項分布中所有概率和恰好是二項式。

  課后記:

  準備這節(jié)課,我主要思考了這么幾個問題:

 。1)這節(jié)課的教學目的“使學生掌握二項式定理”重要,還是“使學生掌握二項式定理的形成過程”重要?我反復斟酌,認為后者重要。于是,我這節(jié)課花了大部分時間是來引導學生探究“為什么可以用組合數來表示二項式定理中各項的二項式系數?”

  (2)學生怎樣才能掌握二項式定理?是通過大量的練習來達到目的,還是通過學生對二項式定理的形成過程來記憶?正如前面所說“學問之道,問而得,不如求而得之深固也”。我還是要求學生自主的去探索二項式定理。這樣也符合以教師為主導、學生為主體、師生互動的新課程教學理念。

 。3)準備什么樣的例題?例題的目的是為了鞏固本節(jié)課所學,例題1是很直接的二項式定理內容的應用;為了更好的讓學生體會到二項式定理形成過程中的思考問題的方式,并培養(yǎng)學生知識的遷移能力,我增加了例題,但是難免還有一些有不足之處,希望各位老師能不吝賜教。謝謝!

《二項式定理》說課稿3

  高三第一階段復習,也稱“知識篇”。在這一階段,學生重溫高一、高二所學課程,全面復習鞏固各個知識點,熟練掌握基本方法和技能;然后站在全局的高度,對學過的知識產生全新認識。在高一、高二時,是以知識點為主線索,依次傳授講解的,由于后面的相關知識還沒有學到,不能進行縱向聯系,所以,學的知識往往是零碎和散亂,而在第一輪復習時,以章節(jié)為單位,將那些零碎的、散亂的知識點串聯起來,并將他們系統(tǒng)化、綜合化,把各個知識點融會貫通。對于普通高中的學生,第一輪復習更為重要,我們希望能做高考試題中一些基礎題目,必須側重基礎,加強復習的針對性,講求實效。

  一、內容分析說明

  1、本小節(jié)內容是初中學習的多項式乘法的繼續(xù),它所研究的二項式的乘方的展開式,與數學的其他部分有密切的聯系:

 。1)二項展開式與多項式乘法有聯系,本小節(jié)復習可對多項式的變形起到復習深化作用。

  (2)二項式定理與概率理論中的二項分布有內在聯系,利用二項式定理可得到一些組合數的恒等式,因此,本小節(jié)復習可加深知識間縱橫聯系,形成知識網絡。

 。3)二項式定理是解決某些整除性、近似計算等問題的一種方法。

  2、高考中二項式定理的試題幾乎年年有,多數試題的難度與課本習題相當,是容易題和中等難度的

  試題,考察的題型穩(wěn)定,通常以選擇題或填空題出現,有時也與應用題結合在一起求某些數、式的

  近似值。

  二、學校情況與學生分析

  (1)我校是一所鎮(zhèn)普通高中,學生的基礎不好,記憶力較差,反應速度慢,普遍感到數學難學。但大部分學生想考大學,主觀上有學好數學的愿望。

 。2)授課班是政治、地理班,學生聽課積極性不高,聽課率低(60﹪),注意力不能持久,不能連續(xù)從事某項數學活動。課堂上喜歡輕松詼諧的氣氛,大部分能機械的模仿,部分學生好記筆記。

  三、教學目標

  復習課二項式定理計劃安排兩個課時,本課是第一課時,主要復習二項展開式和通項。根據歷年高考對這部分的考查情況,結合學生的特點,設定如下教學目標:

  1、知識目標:(1)理解并掌握二項式定理,從項數、指數、系數、通項幾個特征熟記它的展開式。

 。2)會運用展開式的通項公式求展開式的特定項。

  2、能力目標:(1)教給學生怎樣記憶數學公式,如何提高記憶的持久性和準確性,從而優(yōu)化記憶品質。記憶力是一般數學能力,是其它能力的基礎。

 。2)樹立由一般到特殊的.解決問題的意識,了解解決問題時運用的數學思想方法。

  3、情感目標:通過對二項式定理的復習,使學生感覺到能掌握數學的部分內容,樹立學好數學的信心。有意識地讓學生演練一些歷年高考試題,使學生體驗到成功,在明年的高考中,他們也能得分。

  四、教學過程

  1、知識歸納

 。1)創(chuàng)設情景:①同學們,還記得嗎? 、 、 展開式是什么?

 、趯W生一起回憶、老師板書。

  設計意圖:①提出比較容易的問題,吸引學生的注意力,組織教學。

 、跒閷W生能回憶起二項式定理作鋪墊:激活記憶,引起聯想。

 。2)二項式定理:①設問 展開式是什么?待學生思考后,老師板書

  = C an+C an-1b1+…+C an-rbr+…+C bn(n∈N*)

 、诶蠋熞髮W生說出二項展開式的特征并熟記公式:共有 項;各項里a的指數從n起依次減小1,直到0為止;b的指數從0起依次增加1,直到n為止。每一項里a、b的指數和均為n。

  ③鞏固練習 填空

  設計意圖:①教給學生記憶的方法,比較分析公式的特點,記規(guī)律。

  ②變用公式,熟悉公式。

 。3) 展開式中各項的系數C , C , C ,… , 稱為二項式系數.

  展開式的通項公式Tr+1=C an-rbr , 其中r= 0,1,2,…n表示展開式中第r+1項.

  2、例題講解

  例1求 的展開式的第4項的二項式系數,并求的第4項的系數。

  講解過程

  設問:這里 ,要求的第4項的有關系數,如何解決?

  學生思考計算,回答問題;

  老師指明①當項數是4時, ,此時 ,所以第4項的二項式系數是 ,

 、诘4項的系數與的第4項的二項式系數區(qū)別。

  板書

  解:展開式的第4項

  所以第4項的系數為 ,二項式系數為 。

  選題意圖:①利用通項公式求項的系數和二項式系數;②復習指數冪運算。

  例2 求 的展開式中不含的 項。

  講解過程

  設問:①不含的 項是什么樣的項?即這一項具有什么性質?

 、趩栴}轉化為第幾項是常數項,誰能看出哪一項是常數項?

  師生討論 “看不出哪一項是常數項,怎么辦?”

  共同探討思路:利用通項公式,列出項數的方程,求出項數。

  老師總結思路:先設第 項為不含 的項,得 ,利用這一項的指數是零,得到關于 的方程,解出 后,代回通項公式,便可得到常數項。

  板書

  解:設展開式的第 項為不含 項,那么

  令 ,解得 ,所以展開式的第9項是不含的 項。

  因此 。

  選題意圖:①鞏固運用展開式的通項公式求展開式的特定項,形成基本技能。

 、谂袛嗟趲醉検浅淀椷\用方程的思想;找到這一項的項數后,實現了轉化,體現轉化的數學思想。

  例3求 的展開式中, 的系數。

  解題思路:原式局部展開后,利用加法原理,可得到展開式中的 系數。

  板書

  解:由于 ,則 的展開式中 的系數為 的展開式中 的系數之和。

  而 的展開式含 的項分別是第5項、第4項和第3項,則 的展開式中 的系數分別是: 。

  所以 的展開式中 的系數為

  例4 如果在( + )n的展開式中,前三項系數成等差數列,求展開式中的有理項.

  解:展開式中前三項的系數分別為1, , ,

  由題意得2× =1+ ,得n=8.

  設第r+1項為有理項,T =C · ·x ,則r是4的倍數,所以r=0,4,8.

  有理項為T1=x4,T5= x,T9= .

  3、課堂練習

  1.(20xx年江蘇,7)(2x+ )4的展開式中x3的系數是

  A.6B.12 C.24 D.48

  解析:(2x+ )4=x2(1+2 )4,在(1+2 )4中,x的系數為C ·22=24.

  答案:C

  2.(20xx年全國Ⅰ,5)(2x3- )7的展開式中常數項是

  A.14 B.14 C.42 D.-42

  解析:設(2x3- )7的展開式中的第r+1項是T =C (2x3) (- )r=C 2 ·

 。ǎ1)r·x ,

  當- +3(7-r)=0,即r=6時,它為常數項,∴C (-1)6·21=14.

  答案:A

  3.(20xx年湖北,文14)已知(x +x )n的展開式中各項系數的和是128,則展開式中x5的系數是_____________.(以數字作答)

  解析:∵(x +x )n的展開式中各項系數和為128,

  ∴令x=1,即得所有項系數和為2n=128.

  ∴n=7.設該二項展開式中的r+1項為T =C (x ) ·(x )r=C ·x ,

  令 =5即r=3時,x5項的系數為C =35.

  答案:35

  五、課堂教學設計說明

  1、這是一堂復習課,通過對例題的研究、討論,鞏固二項式定理通項公式,加深對項的系數、項的二項式系數等有關概念的理解和認識,形成求二項式展開式某些指定項的基本技能,同時,要培養(yǎng)學生的運算能力,邏輯思維能力,強化方程的思想和轉化的思想。

  2、在例題的選配上,我設計了一定梯度。第一層次是給出二項式,求指定的項,即項數已知,只需直接代入通項公式即可(例1);第二層次(例2)則需要自己創(chuàng)造代入的條件,先判斷哪一項為所求,即先求項數,利用通項公式中指數的關系求出,此后轉化為第一層次的問題。第三層次突出數學思想的滲透,例3需要變形才能求某一項的系數,恒等變形是實現轉化的手段。在求每個局部展開式的某項系數時,又有分類討論思想的指導。而例4的設計是想增加題目的綜合性,求的n過程中,運用等差數列、組合數n等知識,求出后,有化歸為前面的問題。

  六、個人見解

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