高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)

時間：2024-08-30 06:59:15 高中數(shù)學(xué) 我要投稿

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點總結(jié) 推薦度：
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　　總結(jié)是對取得的成績、存在的問題及得到的經(jīng)驗和教訓(xùn)等方面情況進行評價與描述的一種書面材料，它可以使我們更有效率，不如靜下心來好好寫寫總結(jié)吧。你所見過的總結(jié)應(yīng)該是什么樣的？下面是小編收集整理的高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)，希望能夠幫助到大家。

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)1

　　1.①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：|k360,kZ

　　②終邊在x軸上的角的集合：|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合：|k18090,kZ

　�、芙K邊在坐標軸上的角的集合：|k90,kZ

　　⑤終邊在y=x軸上的角的集合：|k18045,kZ⑥終邊在yx軸上的角的集合：|k18045,kZ

　�、呷艚桥c角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角與角的關(guān)系：360k

　　⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則角與角的關(guān)系：360k180

　　⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：180k

　　⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：360k902.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′3、弧長公式：l||r.扇形面積公式：s12扇形2lr12||r

　　2、三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）

　　yy+y+-+-+-o-x-o+x+o-x正弦、余割余弦、正割正切、余切

　　3.三角函數(shù)的定義域：

　　三角函數(shù)定義域f(x)sinxx|xRf(x)cosxx|xRf(x)tanxx|xR且xk1,kZ2

　　f(x)cotxx|xR且xk,kZ

　　4、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

　　sincostan

　　cossincot

　　tancot1sin2cos217、誘導(dǎo)公式：

　　把k2“奇變偶不變，符號看象限”的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：三角函數(shù)的.公式：

　　（一）基本關(guān)系

　　公式組一sinxcscx=1tanx=sinx22

　　cosxsinx+cosx=1cosxsecx=1x=cosx2sinx1+tanx=sec2xtanxcotx=11+cot2x=csc2x

　　公式組二公式組三

　　sin(2kx)sinxsin(x)sinxcos(2kx)cosxcos(x)cosxtan(2kx)tanxtan(x)tanxcot(2kx)cotxcot(x)cotx

　　公式組四公式組五sin(x)sinxsin(2x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxtan(x)tanxtan(2x)tanxcot(x)cotx

　　cot(2x)cotx（二）角與角之間的互換

　　cos()coscossinsincos()coscossinsin

　　公式組六

　　sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanx

　　cot(x)cotxsin22sincos-2-

　　cos2cos2sin2cos112sin

　　2tan1tan2222sin()sincoscossintan2sin()sincoscossintan()tantan1tantan

　　tantan1tantan

　　tan()

　　5.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：

　　ysinxycosxytanxycotxyAsinx（A、＞0）定義域RR值域周期性奇偶性單調(diào)性[1,1][1,1]1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZRRR奇函數(shù)A,A22奇函數(shù)2當當0,非奇非偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)0,上為上為上為增函上為增函數(shù)；上為增增函數(shù)；增函數(shù)；數(shù)；上為減函數(shù)函數(shù)；上為減函數(shù)上為減上為減上為減函數(shù)函數(shù)函數(shù)注意：①ysinx與ysinx的單調(diào)性正好相反；ycosx與ycosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.②ysinx與的ycosx周期是.

　　▲y

　　0）的周期T③ysin(x)或yx2cos(x)（2.

　　ytan的周期為2（TT2，如圖，翻折無效）.

　　④ysin(x)的對稱軸方程是xk2（

　　kZ），對稱中心（

　　12k,0）；

　　ycos(x)的對稱軸方程是xk（

　　kZ），對稱中心（k,0）；

　　yatn(

　　x)的對稱中心（

　　k2,0）.

　　三角函數(shù)圖像

　　數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2||，頻率f1T||2，相位x;初

　　相（即當x＝0時的相位）．（當A＞0，ω＞0時以上公式可去絕對值符號），

　　由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長（當|A|＞1）或縮短（當0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

　　由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的|1|倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用

　　ωx替換x)

　　由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當φ＞0）或向右（當φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

　　由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當b＞0）或向下（當b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

　　由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)2

　　一、函數(shù)對稱性：

　　1.2.3.4.5.6.7.8.

　　f（a+x）=f（a-x）==>f（x）關(guān)于x=a對稱

　　f（a+x）=f（b-x）==>f（x）關(guān)于x=（a+b）/2對稱f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）關(guān)于點（a，0）對稱f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）關(guān)于點（a，b）對稱

　　f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）關(guān)于點[（a+b）/2，c/2]對稱y=f（x）與y=f（-x）關(guān)于x=0對稱y=f（x）與y=-f（x）關(guān)于y=0對稱y=f（x）與y=-f（-x）關(guān)于點（0,0）對稱

　　例1：證明函數(shù)y=f（a+x）與y=f（b-x）關(guān)于x=（b-a）/2對稱。

　　【解析】求兩個不同函數(shù)的對稱軸，用設(shè)點和對稱原理作解。

　　證明：假設(shè)任意一點P（m，n）在函數(shù)y=f（a+x）上，令關(guān)于x=t的對稱點Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）]

　　∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即證得對稱軸為x=（b-a）/2.

　　例2：證明函數(shù)y=f（a-x）與y=f（xb）關(guān)于x=（a+b）/2對稱。

　　證明：假設(shè)任意一點P（m，n）在函數(shù)y=f（a-x）上，令關(guān)于x=t的對稱點Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b]

　　∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即證得對稱軸為x=（a+b）/2.

　　二、函數(shù)的周期性

　　令a,b均不為零，若：

　　1、函數(shù)y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函數(shù)最小正周期T=|a|

　　2、函數(shù)y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函數(shù)最小正周期T=|b-a|

　　3、函數(shù)y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函數(shù)最小正周期T=|2a|

　　4、函數(shù)y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函數(shù)最小正周期T=|2a|

　　5、函數(shù)y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函數(shù)最小正周期T=|4a|

　　這里只對第2~5點進行解析。

　　第2點解析：

　　令X=x+a，f[a+（xa）]=f[b+（xa）]∴f（x）=f（x+ba）==>T=ba

　　第3點解析：同理，f（x+a）=-f（x+2a）……

　�、賔（x）=-f（x+a）……

　�、凇嘤散俸廷诮獾胒（x）=f（x+2a）∴函數(shù)最小正周期T=|2a|

　　第4點解析：

　　f（x+2a）=1/f（x+a）==>f（x+a）=1/f（x+2a）

　　又∵f（x+a）=1/f（x）∴f（x）=f（x+2a）

　　∴函數(shù)最小正周期T=|2a|

　　第5點解析：

　　∵f（x+a）={2[1f（x）]}/[1f（x）]=2/[1f（x）]1

　　∴1f（x）=2/[f（x）+1]移項得f（x）=12/[f（x+a）+1]

　　那么f（x-a）=12/[f（x）+1]，等式右邊通分得f（x-a）=[f（x）1]/[1+f（x）]∴1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[f（x）1]，即-1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[1-f（x）]∴-1/[f（x-a）=f（x+a），-1/[f（x2a）=f（x）==>-1/f（x）=f（x-2a）①，又∵-1/f（x）=f（x+2a）②，

　　由①②得f（x+2a）=f（x-2a）==>f（x）=f（x+4a）

　　∴函數(shù)最小正周期T=|4a|

　　擴展閱讀：函數(shù)對稱性、周期性和奇偶性的規(guī)律總結(jié)

　　函數(shù)對稱性、周期性和奇偶性規(guī)律總結(jié)

　�。ㄒ唬┩缓瘮�(shù)的函數(shù)的奇偶性與對稱性：（奇偶性是一種特殊的對稱性）

　　1、奇偶性：

　�。�1）奇函數(shù)關(guān)于（0，0）對稱，奇函數(shù)有關(guān)系式f（x）f（x）0

　�。�2）偶函數(shù)關(guān)于y（即x=0）軸對稱，偶函數(shù)有關(guān)系式f（x）f（x）

　　2、奇偶性的拓展：同一函數(shù)的對稱性

　�。�1）函數(shù)的軸對稱：

　　函數(shù)yf（x）關(guān)于xa對稱f（ax）f（ax）

　　f（ax）f（ax）也可以寫成f（x）f（2ax）或f（x）f（2ax）

　　若寫成：f（ax）f（bx），則函數(shù)yf（x）關(guān)于直線x稱

　�。╝x）（bx）ab對22證明：設(shè)點（x1,y1）在yf（x）上，通過f（x）f（2ax）可知，y1f（x1）f（2ax1），

　　即點（2ax1,y1）也在yf（x）上，而點（x1,y1）與點（2ax1,y1）關(guān)于x=a對稱。得證。

　　說明：關(guān)于xa對稱要求橫坐標之和為2a，縱坐標相等。

　　∵（ax1,y1）與（ax1,y1）關(guān)于xa對稱，∴函數(shù)yf（x）關(guān)于xa對稱

　　f（ax）f（ax）

　　∵（x1,y1）與（2ax1,y1）關(guān)于xa對稱，∴函數(shù)yf（x）關(guān)于xa對稱

　　f（x）f（2ax）

　　∵（x1,y1）與（2ax1,y1）關(guān)于xa對稱，∴函數(shù)yf（x）關(guān)于xa對稱

　　f（x）f（2ax）

　�。�2）函數(shù)的點對稱：

　　函數(shù)yf（x）關(guān)于點（a,b）對稱f（ax）f（ax）2b

　　上述關(guān)系也可以寫成f（2ax）f（x）2b或f（2ax）f（x）2b

　　若寫成：f（ax）f（bx）c，函數(shù)yf（x）關(guān)于點（abc,）對稱2證明：設(shè)點（x1,y1）在yf（x）上，即y1f（x1），通過f（2ax）f（x）2b可知，f（2ax1）f（x1）2b，所以f（2ax1）2bf（x1）2by1，所以點（2ax1,2by1）也在yf（x）上，而點（2ax1,2by1）與（x1,y1）關(guān)于（a,b）對稱。得證。

　　說明：關(guān)于點（a,b）對稱要求橫坐標之和為2a,縱坐標之和為2b,如（ax）與（ax）之和為2a。

　　（3）函數(shù)yf（x）關(guān)于點yb對稱：假設(shè)函數(shù)關(guān)于yb對稱，即關(guān)于任一個x值，都有兩個y值與其對應(yīng)，顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關(guān)于yb對稱。但在曲線c（x,y）=0，則有可能會出現(xiàn)關(guān)于yb對稱，比如圓c（x,y）x2y240它會關(guān)于y=0對稱。

　�。�4）復(fù)合函數(shù)的奇偶性的'性質(zhì)定理：

　　性質(zhì)1、復(fù)數(shù)函數(shù)y＝f[g（x）]為偶函數(shù)，則f[g（－x）]＝f[g（x）]。復(fù)合函數(shù)y＝f[g（x）]為奇函數(shù)，則f[g（－x）]＝－f[g（x）]。

　　性質(zhì)2、復(fù)合函數(shù)y＝f（x＋a）為偶函數(shù)，則f（x＋a）＝f（－x＋a）；復(fù)合函數(shù)y＝f（x＋a）為奇函數(shù)，則f（－x＋a）＝－f（a＋x）。

　　性質(zhì)3、復(fù)合函數(shù)y＝f（x＋a）為偶函數(shù)，則y＝f（x）關(guān)于直線x＝a軸對稱。復(fù)合函數(shù)y＝f（x＋a）為奇函數(shù)，則y＝f（x）關(guān)于點（a,0）中心對稱。

　　總結(jié)：x的系數(shù)一個為1，一個為-1，相加除以2，可得對稱軸方程

　　總結(jié)：x的系數(shù)一個為1，一個為-1，f（x）整理成兩邊，其中一個的系數(shù)是為1，另一個為-1，存在對稱中心。

　　總結(jié)：x的系數(shù)同為為1，具有周期性。

　�。ǘ﹥蓚€函數(shù)的圖象對稱性

　　1、yf（x）與yf（x）關(guān)于X軸對稱。

　　證明：設(shè)yf（x）上任一點為（x1,y1）則y1f（x1），所以yf（x）經(jīng)過點（x1,y1）

　　∵（x1,y1）與（x1,y1）關(guān)于X軸對稱，∴y1f（x1）與yf（x）關(guān)于X軸對稱.注：換種說法：yf（x）與yg（x）f（x）若滿足f（x）g（x），即它們關(guān)于y0對稱。

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)3

　　一次函數(shù)

　　一、定義與定義式：

　　自變量x和因變量y有如下關(guān)系：

　　y=kx+b

　　則此時稱y是x的一次函數(shù)。

　　特別地，當b=0時，y是x的正比例函數(shù)。

　　即：y=kx （k為常數(shù)，k0）

　　二、一次函數(shù)的性質(zhì)：

　　1、y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：y=kx+b （k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù)）

　　2、當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。

　　三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：

　　1、作法與圖形：通過如下3個步驟

　�。�1）列表；

　�。�2）描點；

　　（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點）

　　2、性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。（2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是（0，b），與x軸總是交于（—b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點。

　　3、k，b與函數(shù)圖像所在象限：

　　當k0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

　　當k0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　當b0時，直線必通過一、二象限；

　　當b=0時，直線通過原點

　　當b0時，直線必通過三、四象限。

　　特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。

　　這時，當k0時，直線只通過一、三象限；當k0時，直線只通過二、四象限。

　　四、確定一次函數(shù)的表達式：

　　已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達式。

　�。�1）設(shè)一次函數(shù)的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。

　�。�2）因為在一次函數(shù)上的'任意一點P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b ①和y2=kx2+b ②

　　（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。

　�。�4）最后得到一次函數(shù)的表達式。

　　五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：

　　1、當時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

　　2、當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S—ft。

　　六、常用公式：（不全，希望有人補充）

　　1、求函數(shù)圖像的k值：（y1—y2）/（x1—x2）

　　2、求與x軸平行線段的中點：|x1—x2|/2

　　3、求與y軸平行線段的中點：|y1—y2|/2

　　4、求任意線段的長：（x1—x2）^2+（y1—y2）^2 （注：根號下（x1—x2）與（y1—y2）的平方和）

　　二次函數(shù)

　　I、定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

　　y=ax^2+bx+c

　　（a，b，c為常數(shù)，a0，且a決定函數(shù)的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大、）

　　則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

　　II、二次函數(shù)的三種表達式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a0）

　　頂點式：y=a（x—h）^2+k [拋物線的頂點P（h，k）]

　　交點式：y=a（x—x）（x—x ） [僅限于與x軸有交點A（x，0）和B（x，0）的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：

　　h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4a x，x=（—bb^2—4ac）/2a

　　III、二次函數(shù)的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，

　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

　　IV、拋物線的性質(zhì)

　　1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

　　x= —b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

　　2、拋物線有一個頂點P，坐標為

　　P（ —b/2a，（4ac—b^2）/4a ）

　　當—b/2a=0時，P在y軸上；當= b^2—4ac=0時，P在x軸上。

　　3、二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a0時，拋物線向上開口；當a0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4、一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左；

　　當a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右。

　　5、常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于（0，c）

　　6、拋物線與x軸交點個數(shù)

　　= b^2—4ac0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　= b^2—4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　= b^2—4ac0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x= —bb^2—4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a）

　　V、二次函數(shù)與一元二次方程

　　特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，

　　當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），

　　即ax^2+bx+c=0

　　此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。

　　函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

　　1、二次函數(shù)y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

　　解析式頂點坐標對稱軸

　　y=ax^2（0，0） x=0

　　y=a（x—h）^2（h，0） x=h

　　y=a（x—h）^2+k（h，k） x=h

　　y=ax^2+bx+c（—b/2a，[4ac—b^2]/4a） x=—b/2a

　　當h0時，y=a（x—h）^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

　　當h0時，則向左平行移動|h|個單位得到、

　　當h0，k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

　　當h0，k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

　　當h0，k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

　　當h0，k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

　　因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c（a0）的圖象，通過配方，將一般式化為y=a（x—h）^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了、這給畫圖象提供了方便、

　　2、拋物線y=ax^2+bx+c（a0）的圖象：當a0時，開口向上，當a0時開口向下，對稱軸是直線x=—b/2a，頂點坐標是（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）、

　　3、拋物線y=ax^2+bx+c（a0），若a0，當x —b/2a時，y隨x的增大而減小；當x —b/2a時，y隨x的增大而增大、若a0，當x —b/2a時，y隨x的增大而增大；當x —b/2a時，y隨x的增大而減小、

　　4、拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

　　（1）圖象與y軸一定相交，交點坐標為（0，c）；

　�。�2）當△=b^2—4ac0，圖象與x軸交于兩點A（x，0）和B（x，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

　�。╝0）的兩根、這兩點間的距離AB=|x—x|

　　當△=0、圖象與x軸只有一個交點；

　　當△0、圖象與x軸沒有交點、當a0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y0；當a0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y0、

　　5、拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a0（a0），則當x= —b/2a時，y最小（大）值=（4ac—b^2）/4a、

　　頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值、

　　6、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

　　（1）當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：

　　y=ax^2+bx+c（a0）、

　�。�2）當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a（x—h）^2+k（a0）、

　�。�3）當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a（x—x）（x—x）（a0）、

　　7、二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)、

　　反比例函數(shù)

　　形如y=k/x（k為常數(shù)且k0）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。

　　自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。

　　反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：

　　反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。

　　由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f（—x）=—f（x），圖像關(guān)于原點對稱。

　　另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

　　如圖，上面給出了k分別為正和負（2和—2）時的函數(shù)圖像。

　　當K0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一，三象限，是減函數(shù)

　　當K0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二，四象限，是增函數(shù)

　　反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。

　　知識點：

　　1、過反比例函數(shù)圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為| k |。

　　2、對于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數(shù)（即y=k/（xm）m為常數(shù)），就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數(shù)時向左平移，減一個數(shù)時向右平移）

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)4

　　(一)映射、函數(shù)、反函數(shù)

　　1.對應(yīng)、映射和函數(shù)的概念既有共性又有差異。映射是一種特殊的對應(yīng)，函數(shù)是一種特殊的映射.

　　2.函數(shù)概念應(yīng)注意以下幾點:

　　(1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三個要素，判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).

　�。�2）掌握三種表示方法-列表方法、分析方法和圖像方法，可以根據(jù)實際問題尋求變量之間的函數(shù)關(guān)系，特別是分段函數(shù)的分析方法.

　　(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù)，f(u)為外函數(shù).

　　3、求函數(shù)y=f(x)反函數(shù)的一般步驟：

　　(1)確定原函數(shù)的值域，即反函數(shù)的定義域；

　　(2)由y=f(x)分析式求出x=f-1(y);

　　(3)將x，y習慣性表達式的反函數(shù)對換y=f-1(x)，并注明定義域.

　　注意①：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，首先在各段找出反函數(shù)，然后合并在一起.

　�、谑煜�(yīng)用，求f-1(x0)值，合理利用這個結(jié)論，可以避免求反函數(shù)的過程，從而簡化操作.

　　(2)函數(shù)的分析和定義域

　　1.函數(shù)及其定義域是一個不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)不存在。因此，要正確寫出函數(shù)的分析，必須在找出變量之間的相應(yīng)規(guī)則的同時找出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種:

　　(1)有時一個函數(shù)來自一個實際問題，當自變量x具有實際意義時，應(yīng)結(jié)合實際意義考慮定義域；

　　(2)已知函數(shù)的解析式要求其定義域，只要使解析式有意義.如：

　�、俜帜覆坏脼榱悖�

　�、谂即畏礁婚_方數(shù)不小于零；

　　③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；

　�、苤笖�(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零，不等于1；

　�、萑呛瘮�(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數(shù)y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

　　需要注意的是，當一個函數(shù)的'分析類型由幾個部分組成時，定義為自變量值的公共部分（即交叉）.

　　(3)已知一個函數(shù)的定義域，要求另一個函數(shù)的定義域主要考慮定義域的深刻含義.

　　已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]定義域是指滿足a≤g(x)≤bx的值范圍已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)定義域，即g(x)的值域.

　　2.求函數(shù)的分析一般有四種情況

　　(1)根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系時，必須引入適當?shù)淖兞�，根�?jù)數(shù)學(xué)知識尋求函數(shù)的分析.

　　(2)有時題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的分析可以采用待定系數(shù)法.例如，函數(shù)是一個函數(shù)，可以設(shè)置f(x)=ax b(a≠0)，其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件列出方程組a，b即可.

　　(3)如果題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]在表達式中，可以用換元法求函數(shù)f(x)此時，必須找出表達式g(x)值域相當于求函數(shù)的定義域.

　　(4)若已知f(x)這個等式除了滿足某個等式f(x)除未知量外，還有其他未知量(如未知量)f(-x)，等)，必須根據(jù)已知等式構(gòu)建其他等式組成方程組，并使用解方程組法找f(x)的表達式.

　　(3)函數(shù)的值域和最值

　　1.函數(shù)值域取決于定義域和相應(yīng)規(guī)則。無論采用何種方法尋求函數(shù)值域，都應(yīng)首先考慮其定義域。尋求函數(shù)值域的常用方法如下：

　　(1)直接法:又稱觀察法。對于結(jié)構(gòu)相對簡單的函數(shù)，函數(shù)的分析應(yīng)用不等式的性質(zhì)可以直接觀察到.

　　(2)換元法:使用代數(shù)或三角換元將給出的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)換為另一個簡單的函數(shù)再求值域。如果函數(shù)分析包含根式，則在根式中使用代數(shù)換元，在根式中使用代數(shù)換元。.

　　(3)反函數(shù)法:使用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)原函數(shù)的值域是通過求反函數(shù)的定義域獲得的(a≠這種方法可以獲得0)函數(shù)值域.

　　(4)配方法:可以考慮與二次函數(shù)或二次函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的值域.

　　(5)不等式法求值域:使用基本不等式a b≥[a，b∈(0， ∞)]可以要求某些函數(shù)的值域，但要注意一正二定三相等的條件，有時需要平方等技能.

　　(6)判別法:把y=f(x)變形為x的一元二次方程，使用△≥0”求值域.題型的特征是分析式包含根式或分式.

　　(7)使用函數(shù)的單調(diào)性求值域:當函數(shù)確定函數(shù)在其定義域(或某個定義域的子集)的單調(diào)性時，可以通過單調(diào)性法找到函數(shù)的值域.

　　(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)表示的幾何意義，借助幾何方法或圖像，找出函數(shù)的值域，即數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.

　　2.求函數(shù)的最大值與值域之間的差異和聯(lián)系

　　求函數(shù)最值的常用方法與求函數(shù)值域的方法基本相同。事實上，如果函數(shù)值域中有最�。ù螅⿺�(shù)，則該數(shù)為函數(shù)的最�。ù螅┲�.因此，求函數(shù)的最值和值域本質(zhì)上是相同的，但問題的角度是不同的，所以回答問題的方式是不同的

　　如果函數(shù)的值域是(0，16]，最大值是16，沒有最小值.再比如函數(shù)的值域(-∞，-2]∪[2， ∞)，但該函數(shù)沒有最大值和最小值，只有在函數(shù)定義域發(fā)生變化后x>0時，函數(shù)的最小值為2�？梢姸x域?qū)瘮?shù)值域或最大值的影響.

　　3.函數(shù)的最大值應(yīng)用于實際問題

　　函數(shù)最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在函數(shù)知識的實際問題上，通常表現(xiàn)為最低工程成本、最大利潤或面積（體積）最大（最�。┑葘嶋H問題，特別注意自變量的實際意義，以正確獲得最值.

　　(4)函數(shù)的奇偶性

　　1.函數(shù)奇偶性的定義:函數(shù)f(x)，如果函數(shù)定義域中的任何一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數(shù)f(x)稱為奇函數(shù)(或偶函數(shù)).

　　要正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，我們應(yīng)該注意兩點：（1）數(shù)軸上的定義域f(x)奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件不足；(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域的整體性質(zhì)).

　　2.奇偶函數(shù)的定義是判斷奇偶函數(shù)的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要簡化函數(shù)或等價應(yīng)用定義：

　　注意以下結(jié)論的應(yīng)用：

　　(1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)偶函數(shù)總是；

　　(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，所以在D1∩D2上，f(x) g(x)是奇函數(shù)，f(x)·g(x)是偶函數(shù)，類似于奇怪±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

　　(3)奇偶函數(shù)復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù)；

　　(4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

　　3.奇偶性的幾個性質(zhì)和結(jié)論

　　(1)一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件，它的圖像是關(guān)于原點對稱的；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件，它的圖像是關(guān)于y軸對稱的

　　(2)如果函數(shù)的定義域?qū)ΨQ原點，函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

　　(3)若奇函數(shù)f(x)在x=0有意義，則f(0)=0成立.

　　(4)若f(x)具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負對稱區(qū)間的單調(diào)性相同(反)。

　　(5)若f(x)原點對稱的定義域，F(xiàn)(x)=f(x) f(-x)是偶函數(shù)，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).

　　(6)奇偶推廣

　　函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的任何x都有f(a x)=f(a-x)，則y=f(x)關(guān)于直線的圖像x=a對稱，即y=f(a x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的任-x都有f(a x)=-f(a-x)，則y=f(x)圖像關(guān)于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a x)為奇函數(shù)。

　　拓展閱讀:總結(jié)初中所有函數(shù)知識點

　　1、一次函數(shù)

　　2、二次函數(shù)

　　三、反比例函數(shù)

　　4.正比函數(shù)

　　1.正比例函數(shù)的求法

　　形如y=kx(k為常數(shù)，k不等于0)，y稱為x的正比函數(shù).

　　圖像練習：1.帶定系數(shù) 2.描點 3.連線

　　圖像是一條必須通過坐標軸原點的直線

　　性質(zhì):當k>0時，圖像通過一、三象限，y隨著x的增加而增加

　　當k<0時，圖像通過二、四象限，y隨著x的增加而減少

　　形如 y=k/x(k為常數(shù)且k≠0) 函數(shù)，稱為反比例函數(shù)。