等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

時(shí)間：2024-08-15 09:46:30 教案我要投稿

《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》教案推薦度：
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　　作為一名教學(xué)工作者，常常需要準(zhǔn)備教案，借助教案可以讓教學(xué)工作更科學(xué)化。優(yōu)秀的教案都具備一些什么特點(diǎn)呢？以下是小編為大家整理的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案，希望能夠幫助到大家。

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案1

　　【教學(xué)目標(biāo)】

　　一、知識(shí)與技能

　　1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；

　　2.體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程;

　　3.會(huì)簡單運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

　　二、過程與方法

　　1．通過對等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo),體會(huì)倒序相加求和的思想方法；

　　2. 通過公式的運(yùn)用體會(huì)方程的思想。

　　三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

　　結(jié)合具體模型,將教材知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性,有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,并通過對等差數(shù)列求和歷史的了解,滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。

　　【教學(xué)重點(diǎn)】

　　等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。

　　【教學(xué)難點(diǎn)】

　　在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中體會(huì)倒序相加的思想方法。

　　【重點(diǎn)、難點(diǎn)解決策略】

　　本課在設(shè)計(jì)上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略。利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想，層層深入，通過學(xué)生自主探究、分析、整理出推導(dǎo)公式的思路，同時(shí)，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，師生互動(dòng)、講練結(jié)合，從而突出重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)。

　　【教學(xué)用具】

　　多媒體軟件，電腦

　　【教學(xué)過程】

　　一、明確數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，確定本節(jié)課中心任務(wù):

　　本節(jié)課我們來學(xué)習(xí)《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》，那么什么叫數(shù)列的前n項(xiàng)和呢，對于數(shù)列{an}：a1，a2，a3，…，an，…我們稱a1+a2+a3+…+an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，用sn表示，記sn=a1+a2+a3+…+an，

　　如S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+……+a7，下面我們來共同探究如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。

　　二、問題牽引，探究發(fā)現(xiàn)

　　問題1：（播放媒體資料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇跡之一。傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少圓寶石嗎？

　　即: S100=1+2+3+······+100=？

　　著名數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候就會(huì)算，聞名于世;那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？請同學(xué)們思考高斯方法的特點(diǎn)，適合類型和方法本質(zhì)。

　　特點(diǎn)：首項(xiàng)與末項(xiàng)的和： 1＋100＝101，

　　第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和： 2＋99 ＝101，

　　第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和： 3＋98 ＝101，

　　· · · · · ·

　　第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和： 50＋51＝101，

　　于是所求的和是： 101×50＝5050。

　　1+2+3+ ······ +100= 101×50 = 5050

　　同學(xué)們討論后總結(jié)發(fā)言：等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)相加時(shí)首尾配對，變不同數(shù)的加法運(yùn)算為相同數(shù)的乘法運(yùn)算大大提高效率。高斯的方法很妙，如果等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)怎么辦呢？

　　探索與發(fā)現(xiàn)1：假如讓你計(jì)算從第一層到第21層的珠寶數(shù)，高斯的首尾配對法行嗎？

　　即計(jì)算S21=1+2+3+ ······ +21的值，在這個(gè)過程中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，首尾配對出現(xiàn)了問題，通過動(dòng)畫演示引導(dǎo)幫助學(xué)生思考解決問題的辦法，為引出倒序相加法做鋪墊。

　　把“全等三角形”倒置，與原圖構(gòu)成平行四邊形。平行四邊形中的每行寶石的個(gè)數(shù)均為21個(gè)，共21行。有什么啟發(fā)？

　　1+ 2 + 3 + …… +20 +21

　　21 + 20 + 19 + …… + 2 +1

　　S21=1+2+3+…+21=（21+1）×21÷2=231

　　這個(gè)方法也很好，那么項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)這個(gè)方法還行嗎？

　　探索與發(fā)現(xiàn)2：第5層到12層一共有多少顆圓寶石？

　　學(xué)生探究的同時(shí)通過動(dòng)畫演示幫助學(xué)生思考剛才的方法是否同樣可行？請同學(xué)們自主探究一下（老師演示動(dòng)畫幫助學(xué)生）

　　S8=5+6+7+8+9+10+11+12=

　　【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列求和時(shí)倒序相加是否可行。從而得出倒序相加法適合任意項(xiàng)數(shù)的等差數(shù)列求和，最終確立倒序相加的思想和方法！

　　好，這樣我們就找到了一個(gè)好方法——倒序相加法！現(xiàn)在來試一試如何求下面這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和？

　　問題2：等差數(shù)列1,2,3,…,n, … 的前n項(xiàng)和怎么求呢？

　　解:（根據(jù)前面的學(xué)習(xí)，請學(xué)生自主思考獨(dú)立完成）

　　【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化倒序相加法的理解和運(yùn)用，為更一般的等差數(shù)列求和打下基礎(chǔ)。

　　至此同學(xué)們已經(jīng)掌握了倒序相加法，相信大家可以推導(dǎo)更一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式了。

　　問題3：對于一般的等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公差為d，如何推導(dǎo)它的前n項(xiàng)和sn公式呢？

　　即求 =a1+a2+a3+……+an=

　　∴（1）+（2）可得：2

　　∴

　　公式變形：將代入可得：

　　【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在前面的探究基礎(chǔ)上水到渠成順理成章很快就可以推導(dǎo)出一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，從而完成本節(jié)課的中心任務(wù)。在這個(gè)過程中放手讓學(xué)生自主推導(dǎo)，同時(shí)也復(fù)習(xí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和基本性質(zhì)。

　　三、公式的認(rèn)識(shí)與理解：

　　1、根據(jù)前面的推導(dǎo)可知等差數(shù)列求和的兩個(gè)公式為：

　�。ü揭唬�

　　（公式二）

　　探究： 1、（1）相同點(diǎn)：都需知道a1與n;

　　（2）不同點(diǎn)：第一個(gè)還需知道an ，第二個(gè)還需知道d;

　�。�3）明確若a1,d,n,an中已知三個(gè)量就可求Sn。

　　2、兩個(gè)公式共涉及a1, d, n, an，Sn五個(gè)量，“知三”可“求二”。

　　2、探索與發(fā)現(xiàn)3：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與梯形面積公式有什么聯(lián)系？

　　用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式，這里對圖形進(jìn)行了割、補(bǔ)兩種處理，對應(yīng)著等差數(shù)列 n 項(xiàng)和的兩個(gè)公式.，請學(xué)生聯(lián)想思考總結(jié)來有助于記憶。

　　【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生類比聯(lián)想，拓展思維，增加興趣，強(qiáng)化記憶

　　四、公式應(yīng)用、講練結(jié)合

　　1、練一練：

　　有了兩個(gè)公式，請同學(xué)們來練一練，看誰做的快做的對！

　　根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛an｝的Sn ：

　�。�1）a1=5，an=95，n=10

　　解：500

　　（2）a1=100，d=－2，n=50

　　解：

　　【設(shè)計(jì)意圖】熟悉并強(qiáng)化公式的`理解和應(yīng)用，進(jìn)一步鞏固“知三求二”。

　　下面我們來看兩個(gè)例題：

　　2、例題1：

　　20xx年11月14日教育部下發(fā)了<<關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知>>.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo):從20xx年起用10年時(shí)間,在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng). 據(jù)測算,20xx年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施,計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從20xx年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?

　　解:設(shè)從20xx年起第n年投入的資金為an,根據(jù)題意,數(shù)列｛an｝是一個(gè)等差數(shù)列,其中 a1=500, d=50

　　那么，到20xx年（n=10），投入的資金總額為

　　答: 從20xx年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元。

　　【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列知識(shí)在生活中的應(yīng)用及簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法。

　　3、例題2：

　　已知一個(gè)等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件可以確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？

　　解：

　　法1：由題意知

　　代入公式得：

　　解得,

　　法2：由題意知

　　代入公式得：

　　，

　　即，

　�、冖俚�，，故

　　由得故

　　【設(shè)計(jì)意圖】掌握并能靈活應(yīng)用公式并體會(huì)方程的思想方法。

　　4、反饋達(dá)標(biāo):

　　練習(xí)一：在等差數(shù)列{an}中，a1=20， an=54，sn =999,求n.

　　解：由解n=27

　　練習(xí)2：已知{an}為等差數(shù)列，,求公差。

　　解：由公式得

　　即d=2

　　【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一強(qiáng)化求和公式的靈活應(yīng)用及化歸的思想（化歸到首項(xiàng)和公差這兩個(gè)基本元）。

　　五、歸納總結(jié) 分享收獲：(活躍課堂氣氛，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，培養(yǎng)總結(jié)和表達(dá)能力)

　　1、倒序相加法求和的思想及應(yīng)用；

　　2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程；

　　3、掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式,;

　　4、前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用及方程的思想。

　　…………

　　六、作業(yè)布置：

　�。ㄒ唬⿻孀鳂I(yè)：

　　1.已知等差數(shù)列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。

　　2.在a，b之間插入10個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求這10個(gè)數(shù)的和。

　�。ǘ┱n后思考：

　　思考：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法除了倒序相加法還有沒有其它方法呢?

　　【設(shè)計(jì)意圖】通過布置書面作業(yè)鞏固所學(xué)知識(shí)及方法，同時(shí)通過布置課后思考題來延伸知識(shí)拓展思維。

　　附：板書設(shè)計(jì)

　　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

　　1、數(shù)列前n項(xiàng)和的定義：

　　2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)：

　　3、公式的認(rèn)識(shí)與理解：

　　公式一：

　　公式二：

　　四：例題及解答：

　　議練活動(dòng)：

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案2

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1、通過教學(xué)使學(xué)生理解等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，并能用公式解決簡單的問題。

　　2、通過公式推導(dǎo)的教學(xué)使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)從特殊到一般，再從一般到特殊的思想方法，通過公式的運(yùn)用體會(huì)方程的思想。

　　教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)

　　教學(xué)重點(diǎn)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，難點(diǎn)是獲得推導(dǎo)公式的思路。

　　教學(xué)用具

　　實(shí)物投影儀，多媒體軟件，電腦。

　　教學(xué)方法

　　講授法。

　　教學(xué)過程

　　一、新課引入

　　提出問題（播放媒體資料）：一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支。這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？（課件設(shè)計(jì)見課件展示）

　　問題就是（板書）“ ”

　　這是小學(xué)時(shí)就知道的一個(gè)故事，高斯的算法非常高明，回憶他是怎樣算的（由一名學(xué)生回答，再由學(xué)生討論其高明之處）高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組，第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組，第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組，第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組，…，每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個(gè)101就等于5050了。高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果。

　　我們希望求一般的等差數(shù)列的和，高斯算法對我們有何啟發(fā)？

　　二、講解新課

　�。�板書）等差數(shù)列前項(xiàng)和公式

　　1、公式推導(dǎo)（板書）

　　問題（幻燈片）：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由學(xué)生討論，研究高斯算法對一般等差數(shù)列求和的指導(dǎo)意義。

　　思路一：運(yùn)用基本量思想，將各項(xiàng)用和表示，得，有以下等式，問題是一共有多少個(gè)，似乎與的.奇偶有關(guān)。這個(gè)思路似乎進(jìn)行不下去了。

　　思路二：

　　上面的等式其實(shí)就是，為回避個(gè)數(shù)問題，做一個(gè)改寫，，兩式左右分別相加，得，

　　于是有：。這就是倒序相加法。

　　思路三：受思路二的啟發(fā)，重新調(diào)整思路一，可得，于是。

　　于是得到了兩個(gè)公式（投影片）：和。

　　2、公式記憶