雙曲線的幾何性質(zhì)教案

時(shí)間：2022-06-15 21:20:18 教案我要投稿

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雙曲線的幾何性質(zhì)教案

　　作為一名教職工，常常需要準(zhǔn)備教案，編寫(xiě)教案有利于我們弄通教材內(nèi)容，進(jìn)而選擇科學(xué)、恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。那么大家知道正規(guī)的教案是怎么寫(xiě)的嗎？下面是小編整理的雙曲線的幾何性質(zhì)教案，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

雙曲線的幾何性質(zhì)教案

雙曲線的幾何性質(zhì)教案1

　　㈠課時(shí)目標(biāo)

　　1．熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)。

　　2．能理解離心率的大小對(duì)雙曲線形狀的影響。

　　3．能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)或圖形特征，確定焦點(diǎn)的位置，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　㈡教學(xué)過(guò)程

　　[情景設(shè)置]

　　敘述橢圓的幾何性質(zhì)，并填寫(xiě)下表：

　　方程

　　性質(zhì)

　　圖像（略）

　　范圍-a≤x≤a，-b≤y≤b

　　對(duì)稱性對(duì)稱軸、對(duì)稱中心

　　頂點(diǎn)（±a,0）、（±b,0）

　　離心率e=(幾何意義)

　　[探索研究]

　　1．類比橢圓的幾何性質(zhì)，探討雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率。

　　雙曲線的實(shí)軸、虛軸、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)及離心率的定義。

　　雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)比如下：

　　方程

　　性質(zhì)

　　圖像（略）（略）

　　范圍-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R

　　對(duì)稱性對(duì)稱軸、對(duì)稱中心對(duì)稱軸、對(duì)稱中心

　　頂點(diǎn)（±a,0）、（±b,0）（-a,0）、（a,0）

　　離心率0＜e=＜1

　　e=＞1

　　下面繼續(xù)研究離心率的幾何意義：

　�。╝、b、c、e關(guān)系：c2=a2+b2, e=＞1）

　　2.漸近線的發(fā)現(xiàn)與論證

　　根據(jù)橢圓的.上述四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把畫(huà)出來(lái)嗎？（能）

　　根據(jù)上述雙曲線的四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把畫(huà)出來(lái)嗎？（不能）

　　通過(guò)列表描點(diǎn)，能把雙曲線的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)，比較精確地畫(huà)出來(lái)，但雙曲線向何處伸展就不很清楚。

　　我們能較為準(zhǔn)確地畫(huà)出曲線y=,這是為什么？（因?yàn)楫?dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與x軸、y軸無(wú)限接近）此時(shí)，x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。

　　問(wèn)：雙曲線有沒(méi)有漸近線呢？若有，又該是怎樣的直線呢？

　　引導(dǎo)猜想：在研究雙曲線的范圍時(shí)，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可解出：

　　y=± =±

　　當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，就無(wú)限趨近于零，也就是說(shuō)，這是雙曲線y=±

　　與直線y=±無(wú)限接近。

　　這使我們猜想直線y=±為雙曲線的漸近線。

　　直線y=±恰好是過(guò)實(shí)軸端點(diǎn)A1、A2，虛軸端點(diǎn)B1、B2，作平行于坐標(biāo)軸的直線x=±a, y=±b所成的矩形的兩條對(duì)角線，那么，如何證明雙曲線上的點(diǎn)沿曲線向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，與漸近線越來(lái)越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。

　　證法1：如圖，設(shè)M（x0,y0）為第一象限內(nèi)雙曲線上的仍一點(diǎn)，則

　　y0=，M（x0,y0）到漸近線ay-bx=0的距離為：

　　∣MQ∣= =

　　=．

　　點(diǎn)M向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)，x0隨著增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點(diǎn)就無(wú)限接近于y=

　　故把y=±叫做雙曲線的漸近線。

　　3．離心率的幾何意義

　　∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得===

　　e越小（接近于1）越接近于0，雙曲線開(kāi)口越�。ū猹M）

　　e越大越大，雙曲線開(kāi)口越大（開(kāi)闊）

　　4．鞏固練習(xí)

　　求下列雙曲線的漸近線方程，并畫(huà)出雙曲線。

　�、�4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4

　　已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，分別求出過(guò)以下各點(diǎn)的雙曲線方程

　�、費(fèi)（4，）②M（4，）

　　[知識(shí)應(yīng)用與解題研究]

　　例1求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。

　　例2雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）

　�、杼釤捒偨Y(jié)

　　1.雙曲線的幾何性質(zhì)及a、b、c、e的關(guān)系。

　　2.漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，其發(fā)現(xiàn)證明蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。

　　3.雙曲線的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì)類似點(diǎn)和不同點(diǎn)。

雙曲線的幾何性質(zhì)教案2

　　雙曲線的幾何性質(zhì)（第1課時(shí)）

　　㈠課時(shí)目標(biāo)

　　1．熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)。

　　2．能理解離心率的大小對(duì)雙曲線形狀的影響。

　　3．能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)或圖形特征，確定焦點(diǎn)的位置，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　㈡教學(xué)過(guò)程[情景設(shè)置]

　　敘述橢圓的幾何性質(zhì)，并填寫(xiě)下表：方程性質(zhì)

　　圖像（略）范圍-a≤x≤a，-b≤y≤b對(duì)稱性對(duì)稱軸、對(duì)稱中心頂點(diǎn)（±a,0）、（±b,0）離心率e=(幾何意義)

　　[探索研究]1．類比橢圓的幾何性質(zhì)，探討雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率。雙曲線的實(shí)軸、虛軸、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)及離心率的定義。雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)比如下：方程性質(zhì)

　　圖像（略）（略）范圍-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸、對(duì)稱中心對(duì)稱軸、對(duì)稱中心頂點(diǎn)（±a,0）、（±b,0）（-a,0）、（a,0）離心率0＜e=＜1e=＞1

　　下面繼續(xù)研究離心率的幾何意義：（a、b、c、e關(guān)系：c2=a2+b2, e=＞1）

　　2.漸近線的發(fā)現(xiàn)與論證根據(jù)橢圓的上述四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把畫(huà)出來(lái)嗎？（能）根據(jù)上述雙曲線的四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把畫(huà)出來(lái)嗎？（不能）通過(guò)列表描點(diǎn)，能把雙曲線的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)，比較精確地畫(huà)出來(lái)，但雙曲線向何處伸展就不很清楚。我們能較為準(zhǔn)確地畫(huà)出曲線y=,這是為什么？（因?yàn)楫?dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與x軸、y軸無(wú)限接近）此時(shí)，x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。問(wèn)：雙曲線有沒(méi)有漸近線呢？若有，又該是怎樣的直線呢？引導(dǎo)猜想：在研究雙曲線的范圍時(shí)，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可解出：y=± =± 當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，就無(wú)限趨近于零，也就是說(shuō)，這是雙曲線y=± 與直線y=± 無(wú)限接近。這使我們猜想直線y=± 為雙曲線的漸近線。直線y=± 恰好是過(guò)實(shí)軸端點(diǎn)A1、A2，虛軸端點(diǎn)B1、B2，作平行于坐標(biāo)軸的直線x=±a, y=±b所成的矩形的兩條對(duì)角線，那么，如何證明雙曲線上的點(diǎn)沿曲線向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，與漸近線越來(lái)越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。證法1：如圖，設(shè)M（x0,y0）為第一象限內(nèi)雙曲線上的仍一點(diǎn)，則y0= ，M（x0,y0）到漸近線ay-bx=0的距離為：∣MQ∣= == ．點(diǎn)M向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)， x0隨著增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點(diǎn)就無(wú)限接近于 y=故把y=± 叫做雙曲線的漸近線。

　　3．離心率的幾何意義∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得 ===e越小（接近于1）越接近于0，雙曲線開(kāi)口越�。ū猹M）e越大越大，雙曲線開(kāi)口越大（開(kāi)闊）

　　4．鞏固練習(xí) 求下列雙曲線的漸近線方程，并畫(huà)出雙曲線。 ①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4 已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，分別求出過(guò)以下各點(diǎn)的雙曲線方程 ①M(fèi)（4，） ②M（4，）[知識(shí)應(yīng)用與解題研究]例 1 求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。例2 雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如圖；它的.最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）

　　㈣提煉總結(jié)

　　1.雙曲線的幾何性質(zhì)及a、b、c、e的關(guān)系。

　　2.漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，其發(fā)現(xiàn)證明蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。

　　3.雙曲線的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì)類似點(diǎn)和不同點(diǎn)。