平行四邊形教案

時間：2023-05-24 11:31:12 教案我要投稿

有關平行四邊形教案七篇

　　作為一位無私奉獻的人民教師，就難以避免地要準備教案，編寫教案有利于我們弄通教材內(nèi)容，進而選擇科學、恰當?shù)慕虒W方法。那么優(yōu)秀的教案是什么樣的呢？下面是小編幫大家整理的平行四邊形教案7篇，歡迎大家分享。

有關平行四邊形教案七篇

平行四邊形教案篇1

　　教學目標

　　1、使學生在理解的基礎上掌握平行四邊形面積的計算公式，并會運用公式正確地計算平行四邊形的面積。

　　2．通過操作、觀察、比較，發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生運用轉(zhuǎn)化的思考方法解決問題的能力和邏輯思維能力。

　　3．對學生進行辯詐唯物主義觀點的啟蒙教育。

　　教學重點

　　理解公式并正確計算平行四邊形的面積。

　　教學難點

　　理解平行四邊形面積公式的推導過程。

　　教學過程

　　一、復習引入

　　1．拿出事先準備好的長方形和平行四邊形。量出它的長和寬（平行四邊形量出底和高）。

　　2．觀察老師出示的.幾個平行四邊形，指出它的底和高。

　　3．教師出示一個長方形和一個平行四邊形。

　　猜測：

　　哪一個圖形面積比較大？大多少平方厘米呢？

　　師：要想我們準確的答案，就要用到今天所學的知識--平行四邊形面積的計算（板書課題）

　　二、指導探究

　　1．數(shù)方格方法

　�。�1）小組合作討論：

　　a．圖上標的厘米表示什么？每個小方格表示1平方厘米為什么？

　　b．長方形的長是多少厘米？寬是多少厘米？面積是多少平方厘米？

　　c．用數(shù)方格的方法，求出平行四邊形的面積？（不滿一格的，都按半格計算）

　　d．比較平行四邊形的底和長方形的長，再比較平行四邊形的高和長方形的寬，你發(fā)現(xiàn)了什么？

　�。�2）集體訂正

　�。�3）請同學評價一下用數(shù)方格的方法求平行四邊形的面積。

　　（麻煩，有局限性）

　　2．探索平行四邊形面積的計算公式。

　　（1）教師講話：不數(shù)方格怎樣能夠計算平行四邊形的面積呢？想一想，如果我們把平行四邊形轉(zhuǎn)化成我們過去學過的圖形，就可以根據(jù)已學過的面積公式計算出它的面積了，轉(zhuǎn)化成什么圖形，怎樣轉(zhuǎn)化呢？請大家拿出手里的學具試試看。

　�。�2）學生動手剪拼（可以小組合作），并向周圍同學說一說是怎樣轉(zhuǎn)化的。

　�。�3）同學到前面演示轉(zhuǎn)化的方法。

　�。�4）教師演示課件并組織學生討論：

　�、倨叫兴倪呅魏娃D(zhuǎn)化后的長方形有什么關系？

　�、谠鯓佑嬎闫叫兴倪呅蔚拿娣e？為什么？

　�、廴绻肧表示平行四邊形的面積，用a表示平行四邊形的底，用n表示平行四邊形的高，那么平行四邊形面積的字母公式是什么？

　　3、應用

　　例1一塊平行四邊形鋼板，它的面積是多少？（得數(shù)保留整數(shù)）

　　4.83.517（平方米）

　　答：它的面積約是17平方米。

　　三、質(zhì)疑小結

　　今天你學到了哪些知識？怎樣計算平行四邊形面積？

　　四、鞏固練習

　　1、列式并計算面積

　�、俚桌迕�，高厘米，

　�、诘酌�，高米，

　�、鄣追置�，高分米

　　2、說出下面每個平行四邊形的底和高，計算它們的面積。

　　3、應用題

　　有一塊地近似平行四邊形，底是43米，商是20.1米，這塊地的面積約是多少平方米？（得數(shù)保留整數(shù)）

　　4、量出你手里平行四邊形學具的底和高，并計算出它的面積。

平行四邊形教案篇2

　　教學內(nèi)容：國標蘇教版數(shù)學第八冊P43-45。

　　教學目標：

　　1、同學在聯(lián)系生活實際和動手操作的過程中認識平行四邊形，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的基本特征，認識平行四邊形的高。

　　2、同學在活動中進一步積累認識圖形的學習經(jīng)驗，學會用不同方法做出一個平行四邊形，會在方格紙上畫平行四邊形，能正確判斷一個平面圖形是不是平行四邊形，能丈量或畫出平行四邊形的高。

　　3、同學感受圖形與生活的聯(lián)系，感受平面圖形的學習價值，進一步發(fā)展對“空間與圖形”的學習興趣。

　　教學重點：進一步認識平行四邊形，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的基本特征，會畫高。

　　教學難點：引導同學發(fā)現(xiàn)平行四邊形的特征。

　　教學準備：配套多媒體課件。

　　教學過程：

　　一、生活導入。

　　1、(課件出示學校大門關閉和打開的錄象，最后定格成放大的圖片)教師談話：同學們每天都要經(jīng)過校門進入學校，但是你們注意觀察我們的校門了嗎？從圖片中你們能找到一些平面圖形嗎？根據(jù)回答，教師板書：平行四邊形。

　　2、你們還能找出我們生活中見過的一些平行四邊形嗎？同學回答后，教師課件出示一些生活中的平行四邊形：如活動衣架、風箏、樓梯欄桿等。

　　3、今天這節(jié)課我們一起來進一步研究平行四邊形，相信通過研究，我們將有新的收獲。板書完整課題：認識平行四邊形。

　�。墼u：《數(shù)學課程規(guī)范》指出：“同學的數(shù)學學習內(nèi)容應當是實際的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的�！边x擇同學熟悉和感興趣的素材，吸引同學的注意力，激發(fā)同學主動參與學習活動的熱情，讓同學初步感知平行四邊形。］

　　二、探究特點。

　　1、剛才同學們已經(jīng)能找出生活中的一些平行四邊形了，那我們能不能利用身邊的一些物品，自身來想方法來制作一個平行四邊形呢？你們可以先看一看資料袋中有哪些資料，再獨立考慮一下準備怎么做；假如有困難的可以先看看學具袋中的平行四邊形再操作。

　　2、大家已經(jīng)完成了自身的創(chuàng)作，現(xiàn)在請你們和小組的同學交流一下，說說自身的做法和為什么這樣做，然后派代表上來交流。

　　同學小組交流，教師巡視，并進行一定的輔導。

　　3、哪個小組派代表上來交流？注意把你的方法展示在投影儀上，然后說說這么做的理由，其他小組等他們說完后可以進行補充。

　　(1)方法一：用小棒擺。請你說說你為什么這么做？要注意些什么呢？

　　(2)方法二：在釘子板上面圍一個平行四邊形。你介紹一下，在圍的時候要注意些什么？怎樣才干做一個平行四邊形？

　　(3)方法三：在方格紙上畫一個平行四邊形。你能提醒一下大家嗎？應該怎樣才干得到一個平行四邊形？

　　(4)用直尺畫一個平行四邊形。

　　……

　　(評：這個個環(huán)節(jié)的設計，本著同學為主體的思想，敢于放手，讓同學的多種感官參與學習活動，讓同學在操作中體驗平行四邊形的一些特點；既實現(xiàn)了探究過程開放性，也突出了師生之間、同學之間的多向交流，體現(xiàn)那了同學為本的理念。)

　　4、剛才我們已經(jīng)能用多種方法來制作平行四邊形，現(xiàn)在請大家在方格紙上獨立在方格紙上畫一個平行四邊形，想想應該怎么畫？注意些什么？

　　(評：本環(huán)節(jié)的'設計，通過在方格紙上畫，讓同學再次感知平行四邊形的一些特點，為下面的猜測、驗證和畫高作了鋪墊。)

　　5、我們已經(jīng)能夠用不同的方法制作平行四邊形，并且能夠在方格紙上話一個平行四邊形。那么這些大小不同的平行四邊形到底有什么一起特點呢？下面我們一起來研究。

　　根據(jù)你們在制作平行四邊形的時候的體會，你們可以猜測一下：平行四邊形有哪些特點？(友情提示:課件中出示提示：我們可以從平行四邊形的那些方面來猜測它的特征呢？邊？角？)

　　6、同學小組討論后提問并板書猜測：

　　對邊可能平行；

　　對邊可能相等；

　　對角相等；

　　……

　　7、你們真行，有了這么多的猜測，那我們能夠自身想方法來證明這些猜測是否正確呢？請每個小組先認領一條，時間有多余可以再研究其他的猜測。

　　同學每小組上臺認領一條猜測，同學分組驗證猜測。

　　8、經(jīng)過同學們的努力，我們已經(jīng)自身驗證了其中一條猜測，現(xiàn)在我們舊來交流一下，其他小組認真聽好，他們的回答是否正確，你覺得怎樣？

　　9、小組派代表上來交流自身小組的驗證方法，其他小組在其完成后進行評價。

　　(1) 兩組對邊分別相等：同學介紹可以用對折或用直尺量的方法來驗證對邊相等后，教師用課件直觀展示。

　　(2) 兩組對邊分別平行：同學匯報的時候假如不一定很完整，教師用課件展示：兩條對邊分別延伸，然后顯示不相交。

　　(3) 對角相等：同學說出方法后，教師讓同學再自身量一量。

　　……

　　最后，教師板書出經(jīng)過驗證特點：

　　兩組對邊分別平行并且相等；

　　對角相等；

　　內(nèi)角和是360°

　　(評：這個環(huán)節(jié)的設計蘊涵了“猜測－驗證－結論”這樣一個科學的探究方法。給同學提供了充沛的自制探索的空間，引導同學先猜想特點，再放手讓同學自身去驗證和交流，使同學在碰撞和交流中最后的出結論。在這個過程中，同學充沛展示了自身的思維過程，在交流中與傾聽中把自身的方法與他人的想法進行了比較。)

　　10、完成“想想做做1”。同學獨立完成后說說理由。

　　三、認識高、底。

　　1、出示一張平行四邊形的圖，介紹：這是一個平行四邊形，你能量出平行四邊形兩條紅線間的距離嗎？應該怎么量？把你量的線段畫出來。

　　同學自身嘗試后交流。

　　2、老師剛才發(fā)現(xiàn)，大家畫的高位置都不一樣，你們想想這是為什么呢？這樣的線段到底有多少條呢？（一組平行線之間的距離處處相等，有無數(shù)條。）

　　說明：從平行四邊形一條邊上的一點到它對邊的垂直線段是平行四邊形的高，這條對邊是平行四邊形的底。

　　3、你能畫出另一組對邊上的高，并量一量嗎？同學繼續(xù)嘗試。

　　完成后，讓同學指一指：兩次畫的高分別垂直于哪一組對邊。板書：高和一組對邊對應。

　　4、完成“試一試”：(1)先指一指高垂直于哪條邊；(2)量出每個平行四邊形的底和高各是多少厘米。

　　5、想想做做5，先指一指平行四邊形的底，再畫出這條底邊上的高，注意畫上直角標志。假如有錯誤，讓同學說說錯在哪里。

　　(這個環(huán)節(jié)的設計，通過同學自身去量、去畫，從而很方便得到了平行四邊形的高和底的概念，在的出高和底對應的時候比較巧妙，同學學得輕松、明了。設計的練習也遵循循序漸進的原則，很好地讓同學領悟了高的知識。)

　　四、練習提高。

　　1、想想做做1，哪些圖形是平行四邊形，為什么。

　　2、想想做做2，用2塊、4塊完全一樣的三角尺分別拼成一個平行四邊形，在小組里交流是怎樣拼的。

　　3、想想做做3，用七巧板中的3塊拼成一個平行四邊形。

　　出示，你能移動其中的一塊將它改拼生長方形嗎？

　　4、想想做做4，想把一塊平行四邊形的木板鋸開做成一張盡可能的的長方形桌面，該從哪里鋸開呢？找一張平行四邊形紙試一試。

　　5、想想做做6，用飲料管作成一個長方形，再拉成平行四邊形，比一比長方形和平行四邊形的相同點和不同點。

　　(評：在鞏固練習中，注意通過同學動手、動腦來進一步掌握平行四邊形的特點。來年系的層次清楚、逐步提高，同學容易接受，并且注意了引導同學去自主探索、合作交流。)

　　五、閱讀調(diào)查

　　自主閱讀“你知道嗎？”，說說有什么收獲，再到生活中去找找類似的例子。

　　六、全課小結

　　今天我們重點研究了哪種平面圖形？它有什么特點？回想一下，我們通過哪些活動進行研究？

平行四邊形教案篇3

　　教學內(nèi)容：教科書第12—13頁的例1、例2、例3，“試一試”和“練一練”，第14頁的練習二。

　　教學目標：

　　1.知識目標：使學生通過實際操作和討論思考，探索并掌握平行四邊形的面積公式，并能應

　　用公式正確計算平行四邊形的面積。

　　2.能力目標：使學生經(jīng)歷觀察、操作、測量、填表、討論、分析、歸納等數(shù)學活動過程，進一步體會“等積變形”的思想方法。

　　3.情感目標：培養(yǎng)空間觀念，發(fā)展初步的推理能力。

　　教學過程：

　　一、復習導入。

　　1.說出下面每個圖形的名稱。（電腦出示）

　　2.在這幾個圖形中，你會求哪些圖形的面積呢?

　　3.大家想不想知道平行四邊形的面積怎么求?今天我們一起來研究“平行四邊形面積的計算”。(揭示課題)

　　二、探究新知。

　　1.教學例1。

　　(1)出示例l中的第一組圖形。

　　提出要求：這兒有兩個圖形，這兩個圖形的面積相等嗎?在小組里說一說你準備怎樣比較這兩個圖形的面積。學生分組活動后組織交流。

　　對學生的交流作適當點評，使學生明白兩種不同的比較方法都是可以的：即數(shù)方格比較大小或把左邊的圖形轉(zhuǎn)化后與右邊的圖形進行比較。

　　(2)出示例l中的第二組圖形。

　　提出要求：你能用剛才的方法比較這兩個圖形的大小嗎?

　　學生分組活動后組織交流，在學生的交流中，教師適當強調(diào)“轉(zhuǎn)化”的方法。

　　(3)小結：把不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化成學過的圖形，并用學過的知識解決問題，這是數(shù)學上一種很重要的方法——轉(zhuǎn)化。這種方法在數(shù)學學習中經(jīng)常要用到。

　　2.教學例2。

　　(1)出示畫在方格紙上的平行四邊形。提問：你能想辦法把圖中的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形嗎?

　　(2)學生操作，教師巡視指導。

　　(3)學生交流操作情況。

　　提出要求：誰愿意把你的轉(zhuǎn)化方法說給大家聽聽?(讓學生用實物投影演示剪、拼過程)

　　提問：有沒有不同的剪、拼方法? (繼續(xù)請學生演示)

　　教師用課件演示各種轉(zhuǎn)化方法，進行小結。

　　(4)討論：剛才大家把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形時，都是沿著平行四邊形的`一條高剪的。大家為什么要沿著高剪開?

　　啟發(fā)學生在討論中理解：沿著高剪開，能使拼成的圖形出現(xiàn)直角，從而符合長方形的特征。

　　(5)小結：沿著平行四邊形的任意一條高剪開，再通過平移，都可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個長方形。

　　3.教學例3。

　　(1)提問：是不是任意一個平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成長方形?平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后，它的面積大小有沒有變?與原來的平行四邊形之間有什么聯(lián)系?

　　(2)操作：請大家從教科書第123頁上選一個平行四邊形剪下來，先把它轉(zhuǎn)化成長方形，并求出面積，再填寫下表：

　　轉(zhuǎn)化成的長方形平行四邊形

　　長（cm）寬（cm）面積（c㎡）底（cm）高（cm）面積（c㎡）

　　(3)小組討論：

　�、俎D(zhuǎn)化成的長方形與平行四邊形面積相等嗎?

　�、陂L方形的長和寬與平行四邊形的底和高有什么關系?

　　③根據(jù)，長方形的面積公式，怎樣求平行四邊形的面積?

　　(4)反饋、交流，抽象出面積公式。

　　根據(jù)學生的討論進行如．下的板書：

　　因為長方形的面積二長×寬

　　所以平行四邊形的面積二底×高

　　(5)用字母表示公式。

　　如果用S表示平行四邊形的面積，用a和h分別表示平行四邊形的底和高，那么你能用字母寫出平行四邊形的面積公式嗎?

　　結合學生的回答,板書：

　　S=ah

　　(6)指導完成“試一試”。

　　先讓學生根據(jù)題意獨立解答，再通過指名板演和評點，明確應用公式求平行四邊形面積一般要有兩個條件，即底和高。

　　三、鞏固深化。

　　1.指導完成“練一練”。先讓學生獨立計算，再讓學生說說每個平行四邊形的底和高分別是多少，計算時應用了什么公式。

　　2.指導完成練習二第1題。

　　(1)明確要求，鼓勵學生嘗試操作。

　　(2)討論：長方形的長、寬、面積各是多少?要使畫出的平行四邊形面積與長方形相等，它的底和高可以分別是多少?

　　(3)學生繼續(xù)操作后展示作品。引導學生對展示的平行四邊形進行判斷，是否符合題目的要求。

　　3.指導完成練習二第2題。

　　先讓學生指出每個平行四邊形的底和高，再讓學生各自測量計算。

　　提醒學生：測量的結果取整厘米數(shù)。

　　4．指導完成練習二第3、4兩題。

　　先讓學生獨立解答，再通過交流說說自己解決問題的思路。

　　5.指導完成練習二第5題。

　　(1)同桌兩人分別按要求做出長12厘米，寬7厘米的長方形。一個長方形不動，另一個長方形拉成平行四邊形，平放在桌上。

　　(2)指導觀察、思考。

　　要求學生認真觀察做成的長方形和用長方形拉成的平行四邊形，想一想，它們的周長相等嗎?為什么?面積呢?

　　(3)指導測量、計算，驗證猜想。

　　(4)連續(xù)拉動長方形，啟發(fā)思考面積的變化有什么特點。

　　四、全課小結。

　　通過今天的學習活動，你學會了什么?有哪些收獲?

　　教學后記

　　通過平移轉(zhuǎn)化成長方形計算面積，使學生了解用數(shù)方格方法計算面積時不滿整格的都按半格計算，同時初步學會用這方法估計并計算不規(guī)則物體表面的面積。使學生體會平移后圖形的面積不變，感受轉(zhuǎn)化的策略。體會平移后圖形的面積不變。

平行四邊形教案篇4

　　一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

　　1.內(nèi)容

　　平行四邊形對角線的性質(zhì).

　　2.內(nèi)容解析

　　這節(jié)課承接了上一節(jié)平行四邊形的性質(zhì)：對邊相等，對角相等，本節(jié)繼續(xù)研究對角線互相平分的性質(zhì)，課本先設置一個探究欄目，讓學生發(fā)現(xiàn)結論，形成猜想，然后利用三角形全等證明這個結論，對角線互相平分是平行四邊形的重要性質(zhì)，在九年級上冊“旋轉(zhuǎn)”一章，通過旋轉(zhuǎn)平行四邊形，得到平行四邊形是中心對稱圖形和對角線互相平分，學生會有進一步體會.平行四邊形是最基本的幾何圖形，它在生活中有著十分廣泛的應用.這不僅表現(xiàn)在日常生活中有許多平行四邊形的圖案，還包括其性質(zhì)在生產(chǎn)、生活各領域的實際應用.是中心對稱圖形的具體化，是以后學習平行四邊形判定的重要依據(jù).

　　教科書例2是的平行四邊形對角線的性質(zhì)的直接運用，而且涉及勾股定理以及平行四邊形面積的計算.

　　基于以上分析，本節(jié)課的教學重點是：平行四邊形對角線性質(zhì)的探究與應用.

　　二、目標和目標解析

　　1.目標

　　(1)探究并掌握平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì).

　　(2)能綜合運用平行四邊形的性質(zhì)解決平行四邊形的有關計算問題，和簡單的證明題.

　　2.目標解析

　　達成目標(1)的標志是：能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線互相平分這一結論并形成猜想，會利用三角形全等證明猜想.

　　達成目標(2)的標志是：能發(fā)現(xiàn)平行四邊形的邊、角、對角線等基本要素間的關系，會運用等量代換等進行線段長、圖形面積等的計算，掌握簡單的邏輯論證.

　　三、教學問題診斷分析

　　本節(jié)課在已學習了三角形全等證明，平行四邊形定義，平行四邊形邊、角的性質(zhì)的基礎上，在積累了一定的經(jīng)驗的情況下學習本節(jié)課內(nèi)容.例2是既是鞏固平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，又復習了勾股定理以及平行四邊形面積的計算.這些問題常常需要運用勾股定理求平行四邊形的高或底.這些問題比較綜合，需要靈活運用所學的有關知識加以解決.

　　基于以上分析，本節(jié)課的教學難點是：綜合運用平行四邊形的性質(zhì)進行有關的論證和計算.

　　四、教學過程設計

　　引言：前面我們研究了平行四邊形的邊、角這兩個基本要素的性質(zhì)，下面我們研究平行四邊形對角線的性質(zhì).

　　1. 引入要素探究性質(zhì)

　　問題1 我們研究平行四邊形邊、角這兩個要素的性質(zhì)時，經(jīng)歷了怎樣的過程?

　　師生活動：學生回顧我們研究平行四邊形邊、角這兩個要素的性質(zhì)時經(jīng)歷的過程，并請學生代表回答.

　　設計意圖：回顧研究研究平行四邊形邊、角這兩個要素的性質(zhì)時經(jīng)歷的過程，總結研究平行四邊形的性質(zhì)的一般活動過程(即觀察、度量、猜想、證明等)，積累研究圖形的活動經(jīng)驗，為本節(jié)課研究對角線要素作準備.

　　問題2如圖，在ABCD中，連接AC，BD，并設它們相交于點O，OA與OC，OB與OD有什么關系?你能證明發(fā)現(xiàn)的結論嗎?

　　師生活動：啟發(fā)學生去發(fā)現(xiàn)并猜想：平行四邊形的對角線互相平分.

　　你能證明上述猜想嗎?

　　教師操作投影儀，提出下面問題：

　　圖中有哪些三角形全等?哪些線段是相等的?請同學們用多種方法加以驗證.

　　學生合作學習，交流自己的思路，并討論不同的驗證思路.

　　教師點撥：圖中有四對三角形全等，分別是：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，

　　△ABD≌△BCD，△ADC≌△CBA.有如下線段相等：OA=OC，OB=OD，AD=BC，AB=DC證明中應用到“AAS”，“ASA”證明.

　　師生歸納整理：

　　定理：平行四邊形的對角線互相平分.

　　我們證明了平行四邊形具有以下性質(zhì)：

　　(1)平行四邊形的對邊相等;

　　(2)平行四邊形的對角相等;

　　(3)平行四邊形的對角線互相平分.

　　設計意圖：應用三角形全等的知識，猜想并驗證所要學習的`內(nèi)容.

　　2.例題解析應用所學

　　問題3如圖，在ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的長以及ABCD的面積.

　　師生活動：教師分析解題思路，可以利用平行四邊形對邊相等求出BC=AD=8，CD=AB=10，在求AC長度時，因為∠ACB=90°，可以在Rt△ACB中應用勾股定理求出AC= =6，由于OA=OC，因此AO=3，求ABCD面積是48，學生板演解題過程.

　　變式追問：在上題中，直線EF過點O，且與AB，CD分別相交于點E，F(xiàn).求證：OE=OF.圖中還在哪些相等的量?

　　設計意圖：對于幾何計算或證明，分析思路和方法是根本，本題既鞏固平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，又復習勾股定理和平行四邊形面積計算的知識，通過本例，讓學生學會如何分析，滲透“綜合分析法”. 讓學生理解平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)的應用價值.

　　3.課堂練習，鞏固深化

　　(1)ABCD的周長為60cm，對角線交于O，△AOB的周長比△BOC的周長大8cm，則AB、BC的長分別是_________.

　　(2)如圖，在ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，△AOD的周長是多少?△ABC與△DBC的周長哪個長?長多少?

　　設計意圖：通過練習，深化理解平行四邊形的性質(zhì)，提高選擇運用平行四邊形定義、性質(zhì)解決問題的能力.

　　4.反思與小結

　　(1)我們學習了平行四邊形的哪些性質(zhì)?

　　(2)結合本節(jié)的學習，談談研究平行四邊形性質(zhì)的思想方法.

　　(3)根據(jù)研究幾何圖形的基本套路，你認為我們還將研究平行四邊形的什么問題?

　　5.布置作業(yè)

　　教科書P49頁習題18.1 第3題;

　　教科書第51頁第14題.

平行四邊形教案篇5

　　教學目標：

　　1、認識平行四邊形和梯形，探索平行四邊形和梯形的特征及平行四邊形的易變特征；

　　2、在實際操作、想象驗證中培養(yǎng)學生的空間想象能力；

　　3、了解平行四邊形、梯形、長方形、正方形之間關系，滲透事物間是互相聯(lián)系著的辯證唯物主義觀點。

　　教學重點：理解平行四邊形與梯形的特征。

　　教學難點：四邊形內(nèi)各種圖形間的關系。

　　課前準備：自制課件1個、平行線膠片。

　　板書設計：

　　平行四邊形梯形

　　兩組對邊分別平行只有一組對邊平行

　　教學過程:

　　一、準備

　　師:前面我們學習了平行線,現(xiàn)在同學們動手在投影片上畫一組平行線，好嗎？

　　提醒：線可以畫得長一點，流暢一些！

　　二、操作、反思

　　1.操作（一）

　　（1）想象。

　　師：老師課前也畫了一組平行線。如果把兩組平行線相交，圍成的會是一個怎樣的圖形，大家能先來想象一下嗎？把你想到的圖形畫在紙上。

　　[學生作圖，教師有意識的巡視學生的作品]

　�。�2）交流。我們來交流一下，可以嗎？

　　要求學生介紹一下圖形的明顯特征。

　　（3）驗證。

　　師：那么兩組平行線相交，真能搭成這些圖形嗎？我們來驗證一下，同桌合作，動手搭一搭，看看能不能成功？

　　2、操作（二）

　�。�1）想象。

　　師：接下來我們換換材料，好嗎？還是兩組線，一組仍是平行線，另一組是不平行的線，它們相交，圍成的又會是什么圖形呢？你能來畫畫嗎？

　�。▽W生想象作圖）

　�。�2）交流。

　　教師選擇學生所作[看看能不能找到一個類似的作代表]，同時出示與之對應的彩色圖形，貼在磁板上。

　　……

　�。�3）驗證。

　　師：又有了各種各樣的。我們請個同學上來搭一搭，幫我們驗證一下！

　　三、展開：

　　1、分類

　�。�1）師：全面欣賞一下我們的成果。這么多圖形，大家它們有沒有相同的地方或不同的地方？

　�。�2）我們四人為一組，一起來找一找，看看哪個組發(fā)現(xiàn)得最多！

　�、伲ǘ加兴臈l邊，四個角，都是四邊形，至少有一組對邊平行）板書：四邊形

　　②有直角和沒直角的；

　�、塾行┦怯蓛山M平行線搭成的，有些是由一組平行線和一組不平行的線搭成的！能聽明白嗎？誰來給們解釋一下！

　�。�3）根據(jù)這個特點，誰能上來把這些圖形分分類。

　　2、取名，進一步了解特征

　�。�1）師：（手指分類后平行四邊形一列）這些四邊形有什么特點？還有誰想說？（板書：兩組對邊分別平行）

　�。�2）誰能給這類圖形取一個符合它特點名字嗎？

　�。ò鍟河袃山M對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）

　�。�3）師：（手指另一列）它們能叫平行四邊形嗎？為什么？

　　師：這種特點的四邊形，我們該叫它什么呢？

　　3、生活應用

　�。�1）師：為什么有同學要稱它們?yōu)樘菪文兀?/p>

　　（2）生活中你還在哪些東西上看到過平行四邊形和梯形？

　　學生舉例后，教師投影相應的圖片：比較美觀、上窄下寬，非常穩(wěn)定

　�。�3）出示實物圖：這是校園的鐵柵門。我們從上面能找到[平行四邊形]，用這樣的形狀制造，有什么好處嗎？老師這里有幾個木架，我們來玩一玩，看能不能發(fā)現(xiàn)點什么？

　　校園鐵柵欄材料招標工作現(xiàn)在開始：各路圖形，爭先恐后，爭相競標。其中三角形和平行四邊形的爭奪尤其激烈。如果你是總務主任，會選擇哪種材料呢？為什么？

　　4、兩組練習。下面我們做幾個練習來鞏固一下：

　　（1）下圖中哪些是平行四邊形，哪些是梯形？同學們有沒有問題？

　　（2）我們曾經(jīng)學過正方形是特殊的長方形。它們的關系可以這樣表示！

　　那么正方形、長方形和平行四邊形這種特殊的關系又該怎么表示呢？

　　可以用文字表達的！如果我們畫圖呢？

　　四邊形

　　梯形

　　平行四邊形

　　長方形

　　正方形

　�。�3）判斷下面的說法對嗎？

　　l一組對邊平行的`四邊形，叫做梯形；

　　l有兩組對邊平行的圖形，都叫平行四邊形；

　　5、拓展：了解圖形轉(zhuǎn)換的內(nèi)在聯(lián)系[機動]

　　師：讓我們一起來做個數(shù)學游戲，進一步了解圖形間的關系。

　�。�1）你能用撕一撕、拼一拼的方法把一個平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個大小相等的長方形嗎？

　�。�2）用撕一撕的方法，你能把一個平行四邊形撕成兩個完全相等的圖形嗎？

　　……

　　投影學生的各種圖形：

　　小結：圖形確實可以千變?nèi)f化，再進一步深入研究我們能夠發(fā)現(xiàn)它們之間還有著十分豐富的聯(lián)系，有興趣的話同學們可以在課后繼續(xù)研究。

平行四邊形教案篇6

　　教學過程

　　一、課堂引入

　　1．平行四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；它們之間有什么聯(lián)系？

　　2．你能說說平行四邊形性質(zhì)與判定的用途嗎？

　�。ù穑浩叫兴倪呅沃R的運用包括三個方面：一是直接運用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題．例如求角的度數(shù)，線段的長度，證明角相等或線段相等等；二是判定一個四邊形是平行四邊形，從而判定直線平行等；三是先判定一個四邊形是平行四邊形，然后再眼再用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題．）

　　3．創(chuàng)設情境

　　實驗：請同學們思考：將任意一個三角形分成四個全等的三角形，你是如何切割的？（答案如圖）

　　圖中有幾個平行四邊形？你是如何判斷的.？

　　二、例習題分析

　　例1（教材P98例4）如圖，點D、E、分別為△ABC邊AB、AC的中點，求證：DE∥BC且DE=BC．

　　分析：所證明的結論既有平行關系，又有數(shù)量關系，聯(lián)想已學過的知識，可以把要證明的內(nèi)容轉(zhuǎn)化到一個平行四邊形中，利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)來證明結論成立，從而使問題得到解決，這就需要添加適當?shù)妮o助線來構造平行四邊形．

　　方法1：如圖（1），延長DE到F，使EF=DE，連接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四邊形BCFD是平行四邊形．所以DF∥BC，DF=BC，因為DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．

　　（也可以過點C作CF∥AB交DE的延長線于F點，證明方法與上面大體相同）

　　方法2：如圖（2），延長DE到F，使EF=DE，連接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四邊形ADCF是平行四邊形．所以AD∥FC，且AD=FC．因為AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四邊形ADCF是平行四邊形．所以DF∥BC，且DF=BC，因為DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．

　　定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．

　　【思考】：

　�。�1）想一想：①一個三角形的中位線共有幾條？②三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？

　�。�2）三角形的中位線與第三邊有怎樣的關系？

　�。ù穑海�1）一個三角形的中位線共有三條；三角形的中位線與中線的區(qū)別主要是線段的端點不同．中位線是中點與中點的連線；中線是頂點與對邊中點的連線．（2）三角形的中位線與第三邊的關系：三角形的中位線平行與第三邊，且等于第三邊的一半．）

　　三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行與第三邊，且等于第三邊的一半。

平行四邊形教案篇7

　　一、學習目標

　�。�、經(jīng)歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的過程，發(fā)展有條理的思考及語言表達能力。

　　2、會進行簡單的多項式與多項式的乘法運算

　　二、學習過程

　�。ㄒ唬┳詫W導航

　　1、創(chuàng)設情境

　　某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積。

　　這塊林區(qū)現(xiàn)在的長為米，寬為米。因而面積為________米2。

　　還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為米2，米2，_______米2，米2。故這塊地的面積為。

　　由于這兩個算式表示的都是同一塊地的面積，則有 =

　　如果把（m+n）看作一個整體，你還能用別的方法得到這個等式嗎？

　　2、概括：

　　多項式乘以多項式的法則：

　　3、計算

　�。�1）（2）

　　4、練一練

　�。�1）

　　（二）合作攻關

　　1、某酒店的廚房進行改造，在廚房的中間設計一個準備臺，要求四面的過道寬都為x米，已知廚房的長寬分別為8米和5米，用代數(shù)式表示該廚房過道的總面積。

　　2、解方程

　�。ㄈ┻_標訓練

　　1、填空題：

　�。�1） = =

　�。�2） = 。

　　2、計算

　　（1）（2）

　�。�3） (4)

　�。ㄋ模┨嵘�

　　1、怎樣進行多項式與多項式的乘法運算？

　　2、若的乘積中不含和項，則a= b=

　　應用題

　　第三十五講應用題

　　在本講中將介紹各類應用題的解法與技巧．

　　當今數(shù)學已經(jīng)滲入到整個社會的各個領域，因此，應用數(shù)學去觀察、分析日常生活現(xiàn)象，去解決日常生活問題，成為各類數(shù)學競賽的一個熱點．

　　應用性問題能引導學生關心生活、關心社會，使學生充分到數(shù)學與自然和人類社會的密切聯(lián)系，增強對數(shù)學的理解和應用數(shù)學的信心．

　　解答應用性問題，關鍵是要學會運用數(shù)學知識去觀察、分析、概括所給的實際問題，揭示其數(shù)學本質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型．其求解程序如下：

　　在初中范圍內(nèi)常見的數(shù)學模型有：數(shù)式模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、平面幾何模型、圖表模型等．

　　例題求解

　　一、用數(shù)式模型解決應用題

　　數(shù)與式是最基本的數(shù)學語言，由于它能夠有效、簡捷、準確地揭示數(shù)學的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因而成為描述和表達數(shù)學問題的重要方法．

　　【例1】(20xx年安徽中考題)某風景區(qū)對5個旅游景點的門票價格進行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計，調(diào)價前后各景點的游客人數(shù)基本不變。有關數(shù)據(jù)如下表所示：

　　景點ABCDE

　　原價（元）1010152025

　　現(xiàn)價（元）55152530

　　平均日人數(shù)（千人）11232

　�。�1）該風景區(qū)稱調(diào)整前后這5個景點門票的平均收費不變，平均日總收入持平。問風景區(qū)是怎樣計算的？

　�。�2）另一方面，游客認為調(diào)整收費后風景區(qū)的平均日總收入相對于調(diào)價前，實際上增加了約9.4%。問游客是怎樣計算的？

　　（3）你認為風景區(qū)和游客哪一個的說法較能反映整體實際？

　　思路點撥（1）風景區(qū)是這樣計算的：

　　調(diào)整前的平均價格：，設整后的平均價格：

　　∵調(diào)整前后的平均價格不變，平均日人數(shù)不變．

　　∴平均日總收入持平．

　�。� 2）游客是這樣計算的：

　　原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）

　　現(xiàn)平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）

　　∴平均日總收入增加了

　　（3）游客的說法較能反映整體實際．

　　二、用方程模型解應用題

　　研究和解決生產(chǎn)實際和現(xiàn)實生恬中有關問題常常要用到方程<組)的知識，它可以幫助人們從數(shù)量關系和相等關系的角度去認識和理解現(xiàn)實世界．

　　【例2】 (重慶中考題)某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小也相同．安全檢查中，對4道門進行了測試：當同時開啟一道正門和兩道側門時，2min內(nèi)可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側門時，4mln內(nèi)可以通過800名學生．

　　(1)求平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生?

　　(2)檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因?qū)W生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規(guī)定：在緊急情況下全大樓的學生應在5min內(nèi)通過這4道門安全撤離．假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4道門整否符合安全規(guī)定?請說明理由．

　　思路點撥列方程(組)的關鍵是找到題中等量關系：兩種測試中通過的學生數(shù)量．設未知數(shù)時一般問什么設什么．“符合安全規(guī)定”之義為最大通過量不小于學生總數(shù)．

　　(1)設平均每分鐘一道正門可以通過x名學生，一道側門可以通過y名學生，由題意得：

　　,解得：

　　(2)這棟樓最多有學生4×8×4 5=1440(名)．

　　擁擠時5min4道門能通過．

　　5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),

　　因1600>1440，故建造的4道門符合安全規(guī)定．

　　三、用不等式模型解應用題

　　現(xiàn)實世界中的不等關系是普遍存在的，許多問題有時并不需要研究它們之間的相等關系，只需要確定某個量的變化范圍，即可對所研究的問題有比較清楚的認識．

　　【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風力資源豐富，一年內(nèi)月平均的風速不小于3m／s的時間共約160天，其中日平均風速不小于6m／s的時間占60天．為了充分利用“風能”這種“綠色資源”，該地擬建一個小型風力發(fā)電場，決定選用A、B兩種型號的風力發(fā)電機，根據(jù)產(chǎn)品說明，這兩種風力發(fā)電機在各種風速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表：一天的發(fā)電量)如下表：

　　日平均風速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6

　　日發(fā)電量 (千瓦?時)A型發(fā)電機O≥36≥150

　　B型發(fā)電機O≥24≥90

　　根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：

　　(1)若這個發(fā)電場購x臺A型風力發(fā)電機，則預計這些A型風力發(fā)電機一年的發(fā)電總量至少為千瓦?時；

　　(2)已知A型風力發(fā)電機每臺O.3萬元，B型風力發(fā)電機每臺O.2萬元．該發(fā)電場擬購置風力發(fā)電機共10臺，希望購機的費用不超過2.6萬元，而建成的風力發(fā)電場每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時，請你提供符合條件的購機方案．

　　根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：

　　思路點撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x；

　　(2)設購A型發(fā)電機x臺，則購B型發(fā)電機(10—x)臺,

　　解法一根據(jù)題意得：

　　解得5≤x ≤6．

　　故可購A型發(fā)電機5臺，B型發(fā)電機5臺；或購A型發(fā)電機6臺，B型發(fā)電視4臺．

　　四、用函數(shù)知識解決的應用題

　　函數(shù)類應用問題主要有以下兩種類型：(1)從實際問題出發(fā)，引進數(shù)學符號，建立函數(shù)關系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關系式．

　　【例4】 (揚州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng)辦了“潤楊”報刊零售點．對經(jīng)營的某種晚報，楊嫂提供丁如下信息：

　�、儋I進每份0.20元，賣出每份0.30元；

　　②一個月內(nèi)(以30天計)，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份；

　�、垡粋€月內(nèi)，每天從報社買進的報紙份數(shù)必須相同．當天賣不掉的報紙，以每份0.10元退回給報社；

　　(1)填表：

　　一個月內(nèi)每天買進該種晚報的份數(shù)100150

　　當月利潤(單位：元)

　　(2)設每天從報社買進該種晚報x份，120≤x≤200時，月利潤為y元，試求出y與x的函數(shù)關系式，并求月利潤的最大值．

　　思路點撥(1)填表：

　　一個月內(nèi)每天買進該種晚報的份數(shù)100150

　　當月利潤(單位：元)300390

　　(2)由題意可知，一個月內(nèi)的20天可獲利潤：

　　20×=2x(元)；其余10天可獲利潤：

　　10=240—x(元)；

　　故y=x+240，(120≤x≤200)，當x=200時，月利潤y的最大值為440元．

　　注根據(jù)題意，正確列出函數(shù)關系式，是解決問題的關鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍．

　　另外，初三還會提及統(tǒng)計型應用題，幾何型應用題．

　　【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成．

　　（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數(shù)．

　　(2)如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用200 0元；如果請乙工程隊施工，公司每日需付費用1400元．在規(guī)定時間內(nèi)：A．請甲隊單獨完成此項工程；B．請乙隊單獨完成此項工程； C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上方案哪一種花錢最少?

　　思路點撥這是一道策略優(yōu)選問題．工程問題中：工作量=工作效率×工時．

　　(1)設乙工程隊單獨完成此項工程需x天，根據(jù)題意得：

　　, x=30合題意，

　　所以，甲工程隊單獨完成此項工程需用20天，乙隊需30天．

　　(2)各種方案所需的費用分別為：

　　A．請甲隊需20xx×20=40000元；

　　B．請乙隊需1400×30=4200元；

　　C．請甲、乙兩隊合作需(20xx+1400)×12=40800元．

　　所隊單獨請甲隊完成此項工程花錢最少．

　　【例6】 (2全國聯(lián)賽初賽題)一支科學考察隊前往某條河流的上游去考察一個生態(tài)區(qū)，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進若干天后到達目的地，然后在生態(tài)區(qū)考察了若干天，完成任務后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊行進了24km后回到出發(fā)點，試問：科學考察隊的生態(tài)區(qū)考察了多少天?

　　思路點撥挖掘題目中隱藏條件是關鍵!

　　設考察隊到生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，

　　17x－25y=－1，即25y－17x=1． ①

　　這里x、y是正整數(shù)，現(xiàn)設法求出①的一組合題意的解，然后計算出z的值．

　　為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負整數(shù))．用輾轉(zhuǎn)相除法．

　　25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．

　　與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2．

　　下面再求出①的合題意的解．

　　由不定方程的知識可知，①的一切整數(shù)解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，

　　∴ x+y=42t－5，t為整數(shù)．按題意0

　　∴z=60—(x+y)=23．

　　答：考察隊在生態(tài)區(qū)考察的天數(shù)是23天．

　　注本題涉及到的未知量多，最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來解，希讀者仔細咀嚼所用方法．

　　【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下：

　　(1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠；

　　(2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標價給予九折優(yōu)惠；

　　(3)若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折優(yōu)惠．

　　小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現(xiàn)在小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少?

　　思路點撥應付198元購物款討論：

　　第一次付款198元，可是所購物品的實價，未享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應分兩種情況加以討論．

　　情形1 當198元為購物不打折付的錢時，所購物品的原價為198元．

　　又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢，104元為購物打八折付的錢；104÷0. 8 =130(元)．

　　因此，554元所購物品的原價為130+500=630(元)，于是購買小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買應付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）．

　　情形2 當198元為購物打九折付的錢時，所購物品的原價為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)．

　　綜上所述，小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品，應付款712.40元或730元

　　【例8】 (20xx年全國數(shù)學競賽題)某項工程，如果由甲、乙兩隊承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2 天完成，需付160000元．現(xiàn)在工程由一個隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少?

　　思路點撥關鍵問題是甲、乙、丙單獨做各需的天數(shù)及獨做時各方日付工資．分兩個層次考慮：

　　設甲、乙、丙單獨承包各需x、y、z天完成．

　　則，解得

　　再設甲、乙、丙單獨工作一天，各需付u、v、w元，

　　則，解得

　　于是，由甲隊單獨承包，費用是45500×4=182000 (元)．

　　由乙隊單獨承包，費用是29500×6= 177000 (元)．

　　而丙隊不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊承包費用最少．

　　學歷訓練

　�。ˋ級）

　　1．(河南)在防治“SARS”的戰(zhàn)役中，為防止疫情擴散，某制藥廠接到了生產(chǎn)240箱過氧乙酸消毒液的任務．在生產(chǎn)了60箱后，需要加快生產(chǎn)，每天比原來多生產(chǎn)15箱，結果6天就完成了任務．求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液?

　　2．(山東省競賽題)某市為鼓勵節(jié)約用水，對自來水妁收費標準作如下規(guī)定：每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元／噸收費；超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費；超過20t部分按每噸1.50元收費，某月甲戶比乙戶多繳水費7.10元，乙戶比丙戶多繳水費3.75元，問甲、乙、丙該月各繳水費多少?(自來水按整噸收費)

　　3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?

　　4．某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案，一種出租車收費標準是起步價10元，每千米1.2元；另一種出租車收費標準是起步價8元，每千米1.4元，問選擇哪一種出租車比較合適?

　　(提示：根據(jù)目前出租車管理條例，車型不同，起步價可以不同，但起步價的最大行駛里程是相同的，且此里程內(nèi)只收起步價而不管其行駛里程是多少)

　�。˙級）

　　1．(全國初中數(shù)學競賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機臺．

　　2．(希望杯)有一批影碟機(VCD)原售價：800元／臺．甲商場用如下辦法促銷：

　　購買臺數(shù)1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上

　　每臺價格760元720元680元640元600元

　　乙商場用如下辦法促銷：每次購買1~8臺，每臺打九折；每次購買9~16臺，每臺打八五折；每次購買17~24臺，每臺打八折；每次購買24臺以上，每臺打七五折．

　�。�1）請仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買VCD的購買臺數(shù)與每臺價格的對照表；

　　(2)現(xiàn)在有A、B、C三個單位，且單位要買10臺VCD，B單位要買16臺VCD，C單位要買20臺VCD，問他們到哪家商場購買花費較少?

　　3．(河北創(chuàng)新與知識應用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請你據(jù)此設計兌換方案．

　　4．從自動扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運動且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達扶梯頂部(設男孩、女孩每次只踏—級)．問：

　　(1)扶梯露在外面的部分有多少級?

　　(2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數(shù)和扶梯的級數(shù)相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階?

　　5．某化肥廠庫存三種不同的混合肥，第一種含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現(xiàn)將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍．

　　6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產(chǎn)量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場．問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內(nèi)的數(shù)字為產(chǎn)量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b < a

　　多邊形的邊角與對角線

　　j.Co M

　　第十四講多邊形的邊角與對角線

　　邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數(shù) 、內(nèi)外角度數(shù)、對角線條數(shù)是解與多邊形相關的基本問題，常用到三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)、外角和定理、不等式、方程等知識．

　　多邊形的內(nèi)角和定理反映出一定的規(guī)律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規(guī)律；360°是一個常數(shù)，把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題，以靜制動是解多邊形有關問題的常用技巧．

　　將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略，連對角線或向外補形、對內(nèi)分割是轉(zhuǎn)化的常用方法，從凸邊形的一個頂點引出的對角線把凸邊形分成個多角形，凸n邊形一共可引出對角線．

　　例題求解

　　【例1】在一個多邊形中，除了兩個內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為20xx°，則這個多邊形的邊數(shù)是．

　　(江蘇省競賽題)

　　思路點撥設除去的角為°，y°，多邊形的邊數(shù) 為，可建立關于x、y的不定方程；又0°

　　鏈接世界上的萬事萬物是一個不斷地聚合和分裂的過程，點是幾何學最原始的概念，點生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì)，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他

　　一些幾何圖形．

　　【例2】在凸10邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個數(shù)最多是( )

　　A．0 B．1 C．3 D．5

　　(全國初中數(shù)學競賽題)

　　思路點撥多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內(nèi)角為銳角的個數(shù)討論轉(zhuǎn)化為外角為鈍角的個數(shù)的探討．

　　【例3】如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個三角形，在平面上把這兩個三角形拼成一個四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標出圖中直角)，并分別寫出所拼四邊形的對角線的長．

　　(烏魯木齊市中考題)

　　思路點撥把動手操作與合情想象相結合，解題的關鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線有不同情形．

　　注教學建模是當今教學教育、考試改革最熱門的一個話題，簡單地說，“數(shù)學建�！本褪峭ㄟ^數(shù)學化(引元、畫圖等)把實際問題特化為一個數(shù)學問題，再運用相應的數(shù)學知識方法(模型)解決問題．

　　本例通過設元，把“沒有重疊、沒有空隙”轉(zhuǎn)譯成等式，通過不定方程求解．

　　【例4】在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關，當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角(360°)時，就拼成了一個平面圖形．

　　(1)請根據(jù)下列圖形，填寫表中空格：

　　(2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形?

　　(3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形?說明你的理由．

　　(陜西省中考題)

　　思路點撥本例主要研究兩個問題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開放性，又具有探索性．假定正n邊形滿足鋪砌要求，那么在它的頂點接合的地方，n個內(nèi)角的和為360°，這樣，將問題的討論轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解．

　　【例5】如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個單位，得到新的五邊形A'B'C'D'E'．

　　（1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個五邊形嗎?說明理由．

　　(2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個單位．

　　(江蘇省競賽題)

　　思路點撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個五邊形須滿足條件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三點分別共線；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圓的周長逼近估算．

　　1．如圖，用硬紙片剪一個長為16cm、寬為12cm的長方形，再沿對角線把它分成兩個三角形，用這兩個三角形可拼出各種三角形和四邊形來，其中周長最大的是 ?，周長最小的是 cm．

　　(選6《莢國中小學數(shù)學課程標準》)

　　2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．

　　3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線段AD的取值范圍是．

　　4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個圖案：

　　(1)第4個圖案中有白色地面磚塊；

　　(2)第n個圖案中有白色地面磚塊．

　　(江西省中考題)

　　5．凸n邊形中有且僅有兩個內(nèi)角為鈍角，則n的最大值是( )

　　A．4 B．5 C． 6 D．7

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　6．一個凸多邊形的每一內(nèi)角都等于140°，那么，從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是( )

　　A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條

　　7．有一個邊長為4m的正六邊形客廳，用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚( )

　　A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　8．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是一個含有30°角的直角三角形，現(xiàn)將△ABC和△ACD拼成一個凸四邊形ABCD．

　　（1）)畫出四邊形ABCD；

　　(2)求出四邊形ABCD的對角線BD的長．

　　(上海市閔行區(qū)中考題)

　　9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數(shù)．

　　(北京市競賽題)

　　10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對邊A3A4的中點，連結A1B1，我們稱A1B1是這個五邊形的一條中對線，如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行．

　　(安徽省中考題)

　　11．如圖，凸四邊形有個；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．

　　(重慶市競賽題)

　　12．如圖，延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于；若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個角的和等于．

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　13．設有一個邊長為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復上述過程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三等分，并重復上述過程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長是；A4這個多邊形的面積是原三角形面積的倍．

　　(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)

　　14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，F(xiàn)A—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競賽題)

　　15．在一個n邊形中，除了一個內(nèi)角外，其余(n一1)個內(nèi)角的和為2750°，則這個內(nèi)角的度數(shù)為( )

　　A．130° D．140° C ．105° D．120°

　　16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長為( )

　　A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競賽題)

　　注按題中的方法'不斷地做下去，就會成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個美麗的名稱——雪花曲線或科克曲線(瑞典數(shù)學家)，這類圖形稱為“分形”，大量的物理、生物與數(shù)學現(xiàn)象都導致分形，分形是新興學科“混沌”的重要分支．

　　17．如圖，設∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( )

　　A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α

　　(山東省競賽題)

　　18．平面上有A、B，C、D四點，其中任何三點都不在一直線上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個三角形的內(nèi)角不超過45°．

　　19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長都是整數(shù)，求n． (上海市競賽題)

　　20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個內(nèi)角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長．

　　21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況，如果折疊起來，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點都是活動的)，活動床頭是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性設計而成的，其折疊過程可由圖2的變換反映出來．

　　如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長時，才能實現(xiàn)上述的折疊變化?

　　(淄博市中考題)

　　22．一個凸n邊形由若干個邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成，求此凸n邊形各個內(nèi)角的大小，并畫出這樣的凸n邊形的草圖．

　　圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

　　前蘇聯(lián)數(shù)學家亞格龍將幾何學定義為：幾何學是研究幾何圖形在運動中不變的那些性質(zhì)的學科．

　　幾何變換是指把一個幾何圖形Fl變換成另一個幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換．

　　如圖1，若把平面圖形Fl上的各點按一定方向移動一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換．

　　平移前后的圖形全等，對應線段平行且相等，對應角相等．

　　如圖2，若把平面圖Fl繞一定點旋轉(zhuǎn)一個角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，其中定點叫旋轉(zhuǎn)中心，定角叫旋轉(zhuǎn)角．

　　旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對應線段相等，對應角相等，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．

　　通過平移或旋轉(zhuǎn)，把部分圖形搬到新的位置，使問題的條件相對集中，從而使條件與待求結論之間的關系明朗化，促使問題的解決．

　　注合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線段間的比例關系，而線段本身的大小要改變．

　　例題求解

　　【例1】如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ．

　　思路點撥通過旋轉(zhuǎn)，把PA、PB、PC或關聯(lián)的線段集中到同一個三角形．

　　【例2】如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線段x、m、n為邊長的三角形的形狀是( )

　　A．銳角三角形 B．直角三角形

　　C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變

　　思路點撥把△ACN繞C點順時針旋轉(zhuǎn)45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可．

　　注下列情形，常實施旋轉(zhuǎn)變換：

　　(1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°；

　　(2)圖形中有線段的中點，將圖形繞中點旋轉(zhuǎn)180°，構造中心對稱全等三角形；

　　(3)圖形中出現(xiàn)有公共端點的線段，將含有相等線段的`圖形繞公共端點，旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合．

　　【例3】如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等．

　　(全俄數(shù)學奧林匹克競賽題)

　　思路點撥設法將復雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個基本圖形表示，題設中有平行條件，可考慮實施平移變換．

　　注平移變換常與平行線相關，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)，平移變換可將角，線段移到適當?shù)奈恢�，使分散的條件相對集中，促使問題的解決．

　　【例4】如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競賽題)

　　思路點撥本例實際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過平移把BC與EF集中到同一個三角形中．

　　注三角形中的不等關系，涉及到以下基本知識：

　　(1)兩點間線段最短，垂線段最短；

　　(2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

　　(3)同一個三角形中大邊對大角(大角對大邊)，三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．

　　【例5】如圖，等邊△ABC的邊長為，點P是△ABC內(nèi)的一點，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長． (“希望杯”邀請賽試題)

　　思路點撥題設條件滿足勾股關系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構成三角形，不能直接應用，通過旋轉(zhuǎn)變換使其集中到一個三角形中，這是解本例的關鍵．

　　學歷訓練

　　1．如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，現(xiàn)將△ABP繞點B顧時針方向旋轉(zhuǎn)能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ．

　　2．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ．

　　3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長為．

　　4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動的距離AA'是( )

　　A． B． C．l D． (20xx年荊州市中考題)

　　5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點C、F，給出以下四個結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP．

　　當∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時(點E不與A、B重合)，上述結論中始終正確的有( )

　　A．1個 B．2個 C ．3個 D．4個

　　(20xx年江蘇省蘇州市中考題)

　　6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長為( )

　　A．2 B．3 C ． D． (20xx年武漢市選拔賽試題)

　　7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為和，對角線BD、FH都在直線上，O1、O2分別為正方形的中心，線段O1O2的長叫做兩個正方形的中心距，當中心O2在直線上平移時，正方形EFGH也隨之平移，在平移時正方形EFGH的形狀、大小沒有變化．

　　(1)計算：O1D= ，O2F= ；

　　(2)當中心O2在直線上平移到兩個正方形只有一個公共點時，中心距O1O2= ；

　　(3)隨著中心O2在直線上平移，兩個正方形的公共點的個數(shù)還有哪些變化?并求出相對應的中心距的值或取值范圍(不必寫出計算過程)． (徐州市中考題)

　　8．圖形的操做過程（本題中四個矩形的水平方向的邊長均為a，豎直方向的邊長均為b）：

　　在圖a中，將線段A1A2向右平移1個單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）；

　　在圖b中，將折線A1A2A3向右平移1個單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）；

　�。�1）在圖c中,請你類似地畫一條有兩個折點的折線,同樣向右平移1個單位,從而得到一個封閉圖形,并用斜線畫出陰影；

　�。�2）請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ；

　�。�3）聯(lián)想與探索：

　　如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的．

　　(20xx年河北省中考題)

　　9．如圖，已知點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM．

　　說明及要求：本題是《幾何》第二冊幾15中第13題，現(xiàn)要求：

　　(1)將△ACM繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使A點落在CB上，請對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形(不寫作法，保留作圖痕跡)．

　　(2)在①所得的圖形中，結論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

　　(3)在①得到的圖形中，設MA的延長線與BN相交于D點，請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結論．

　　10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點3cm的點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個直角三角形重疊部分的面積是 cm2．

　　11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點E在DC上，AE、BC的延長線交于點F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是．

　　(紹興市中考題)

　　12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關系是( )

　　A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無法確定

　　13．如圖，設P到等邊三角形ABC兩頂點A、B的距離分別為2、3，則PC所能達到的最大值為( )

　　A． B． C ．5 D．6

　　(20xx年武漢市選拔賽試題)

　　14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC 延長線上一點，BD=CE，連DE，求證：DE>DC．

　　15．如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點，PA、PB、PC的長為正整數(shù)，且PA2+PB2=PC2，設PA=m，n為大于5的實數(shù)，滿，求△ABC的面積．

　　16．如圖，五羊大學建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門，為方便人員來往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點間來往路程最短，兩座橋都按這個目標而建，那么，此時A、D兩點間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題)

　　17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內(nèi)一點，點O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ．

　　(1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形；

　　(2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競賽題)

　　18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點處，并將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值．

　　(2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)，當扇形紙板的圓心角為時，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；當扇形紙板的圓心角為時，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a．

　　(3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)．當扇形紙板的圓心角為時，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；這時正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫出它與正n邊形面積S之間的關系；若不是定值，請說明理由．

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